Temps d'existence d'une solution d'EDO

[invite7ec123bc]

Salut,

On considère le problème : et

On suppose sur

1) Montrer que la solution x est strictement croissante.

Comme , la solution x est croissante.

2) Montrer que le temps d'existence d'une solution du problème est fini si et seulement si

Ici je ne vois pas comment procéder à la fois pour la condition nécessaire et la condition suffisante.

Si , je suis tenté de faire un changement de variable dans l'intégrale , mais ça ne semble pas aboutir.

Si le temps d'existence que je note est fini, j'ai alors . Là aussi je serais tenté de faire un changement de variable dans avec L'intervalle serait alors "transformé" en l'intervalle (car ). Donc l'intégrale qui est de même nature que l'intégrale est convergente.

Je ne suis pas du tout sûr de tout ça. Auriez-vous une piste? Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

comme f n' s'annule pas, ton équation s'écrit qui s'intègre bien et donne
Le premier membre a un lien avec ton intégrale, on peut même l'obtenir comme une intégrale sur [0,t] qui donne après changement de variable ce dont tu as besoin.

Cordialement.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Je souhaite simplement ajouter une remarque à ce qui a été suggéré.

Si , je suis tenté de faire un changement de variable dans l'intégrale , mais ça ne semble pas aboutir.

Ça me semble pourtant être l'idée principale de la résolution du problème.

Supposons que soit la solution maximale du problème et ; en particulier, est le temps maximal d'existence.

Soit et considérons l'intégrale . En effectuant le changement de variable que vous avez proposé, cette intégrale a une expression et une interprétation très simple une fois imposée la contrainte de l'équation différentielle. En prenant la limite , nous obtenons le résultat recherché.

[invite7ec123bc]

Merci gg0.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]