Bonjour.

Je suis actuellement à la recherche d'éléments théoriques me permettant d'affirmer si un système admet oui ou non une solution.

Je m'explique.

Supposons que je sois dans un espace de dimension 1.
Je prends un ensemble de points, 4 par exemple : {X1,X2,X3,X4} dans cet espace de dimension 1.

Soit S un seuil donné.
Je dispose d'une matrice R où R(i,j)=1 si et seulement si Xi est dans une boule de rayon S centrée sur Xj (l'origine est prise en bas à gauche de la matrice, voir Recurrence plot pour plus d'informations sur ce genre de matrices).

Supposons que ma matrice R ait la forme suivante :


1 1 0 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1 0 1 1

On peut lire cette matrice de la façon suivante :
- 1 est besoin de 3 et 4 (et de lui-même bien entendu) mais pas de 2
- 2 est voisin de 3 et 4

Dans mon espace de dimension 1, je ne peux pas placer des points respectant les contraintes imposées par ma matrice, on peut le voir en faisant un dessin.

En effet, ma matrice correspond à des points qui seraient arrangés comme ceci par exemple (dans un espace de dimension 2) :

X
X X X

La matrice me donne en fait un ensemble d'inégalités sur les différentes coordonnées de mes points. Existe-t-il des règles qui me permettraient de prouver théoriquement qu'un tel système d'inégalités admet ou non une solution, à partir de l'analyse de la matrice ou du système d'équations en lui-même ? Je ne cherche pas la solution, juste à savoir si elle existe.

Merci d'avance à ceux qui pourront me donner quelques pistes de recherche.