Avec f,g élément de L(E,F), E un espace vectoriel de dimension finie et F un espace vectoriel quelconque.
Comment vous démontreriez :
rg(f+g) =rg f + rg g <=> Imf et Img supplémentaires de Im(f+g)
et
rg(f+g) =rg f + rg g <=> Imf"inter"Img={0} et E=Kerf+Kerg
Perso je bloque pour la première équivalence (plus précisément : =>)
La deuxième découlant de la première, pas trop de soucis si la première est démontrée.
Quelqu'un aurait-il une idée ?
je m'arrache les cheveux...
j'arrive pas à démontrer (=>)
je vais finir par sauter par la fenêtre !
On suppose rgf+rgg=rg(f+g) Il faut démontrer l'une des deux :
(1) : Imf+Img = Im(f+g)
(2) : l'intersection de Imf et Img est réduite au singleton vecteur nul de F
Au secours, je vous en supplie, là je vais vraiment penser au suicide, ca me rends dingue !
rg(f+g)= rg f + rg g + dim(im fim g).
Donc im f et im g sont en somme directe (tu as (2)) et rg(f+g)= dim(imf + img); donc comme im (f+g) est inclus dans im f + im g, tu as (1).
