Bonjour à tous,
Je demande votre aide afin de démontrer une certaine égalité énoncée dans le livre Introduction to Symplectic Topology (seconde édition) par McDuff et Salamon, plus précisément dans la démonstration du lemme 11.1.
Voici le contexte. Pour un entier, on considère sur
(muni de coordonnées cartésiennes
) une fonction
de période 1 en chacune de ses variables. Pour alléger un tant soit peu la notation, écrivons
l'hypercube de côté 1 (qui peut servir de domaine fondamental pour
) et
pour sa frontière. Pour tout
, l'égalité suivante tiendrait :
.
Ici,est la matrice
correspondant à un bloc hors-diagonale de la matrice hessienne de W, à savoir
.
Leur explication pour cette égalité m'apparaît assez lacunaire : « cette identité peut se démontrer via une intégration par parties. » Soit, j'intègre par parties, obtenant
.
Le terme de bord est certainement nul en raison de la périodicité de la fonction évaluée. L'intégrale restante peut être développée à l'aide de la formule de Jacobi :
.
Je ne vois pas comment montrer que ceci est nul, excepté dans le cas. Dans ce cas, la dernière intégrale est tout simplement
et je vois que ceci est nul en développant W (et ce faisant) en séries de Fourier et en utilisant l'orthogonalité des fonctions trigonométriques. Cette justification me semble peut-être un peu trop calculatoire, d'autant plus qu'elle ne semble pas se généraliser aisément aux cas
en raison de la présence de la comatrice...
Merci pour votre considération.
Sincèrement,
Universus
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