Transformée de Fourier des Gaussiennes.

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Soit : telle que : .
On pose : .
Pourquoi : avec : avec : ?.

Voiçi où je bloque :

.

Je n'arrive pas à poursuivre le calcul.

Merci d'avance.
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[Universus]

Bonjour,

1) Puisque A est symétrique, elle admet une (unique) racine carré symétrique définie positive B : . Cela induit un changement de coordonnées , ce qui induit aussi un changement des coordonnées . Il faut noter que les arguments des exponentielles ont des expressions bien simples dans ces coordonnées.

2) L'intégrande de la transformation de Fourier est alors un produit de fonctions ne faisant pas chacune intervenir deux j différents. Cela permet de réduire le problème au cas n=1.

3) Une manière de prouver l'égalité lorsque n=1 est de compléter le carré dans l'argument de l'exponentielle, d'effectuer une intégrale de contour sur un chemin judicieusement choisi dans le plan complexe et d'appliquer le théorème de Cauchy (ou celui des résidus, ils sont équivalents ici). Cela permet de réduire le problème au cas .

4) Le cas n=1, n'est qu'une intégrale gaussienne, dont la valeur est connue depuis Gauss. Il est à noter que la méthode utilisée par Gauss afin d'évaluer cette intégrale utilise le fait selon lequel, via l'argument présenté à l'étape 2, les cas n=1 et n=2 s'impliquent l'un l'autre lorsque . Or, pour n=2, il est possible de remplacer y par des coordonnées polaires, ce que Gauss a fait, et l'intégrale se calcule aisément.