Morphisme de groupe, notion de base?

[Edvart]

Bonjour,

C'est un peu par manque d'imagination que je viens vous poser une question. En effet au tout début de l'étude des groupes, anneaux et corps, toutes les notions générales... décrivent en effet des choses basiques. Dès qu'on a lu la définition d'un groupe, on sait qu'il y en a une infinité, avec toute sorte d'ensembles et de lci.
En revanche, la notion de morphisme de groupes a pour moi un aspect ultra spécifique. Je ne connais que deux vrais exemples de morphismes de groupes, donc en quoi est-ce une notion de base des mathématiques?

À part les morphismes
(Z,+) (Z,+)
f : x -> a*x
a(x+y) = ax + ay

Et les morphisme
(R, +) (R, *)
f : x -> a^x
a^(x+y) = a^x * a^y

Et les morphismes "bêtes" style f(x) = a et f(x) = x

Je n'arrive pas à imaginer d'autres morphismes de groupe (bon si les logarithmes mais bon). Avez vous une pagaille d'exemples de morphismes de groupes qui parlent de fleurs et de chaussettes? Si non, en quoi est-ce une notion si générale, aussi simple soit-elle?

Merci d'avance!
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[invited8dd7571]

Non non, c'est bien une notion très générale, qui traduit l'idée qu'une fonction "respecte" la structure du groupe d'arrivée.
Quelques autres exemples :
-> déja, dans n'importe quel groupe (pas juste R ou Z) on a des morphismes triviaux, du types
-> le déterminant de GLn(K) dans K*
-> l'application signature du groupe symétrique dans
-> Si G est un groupe cyclique d'ordre n, engendré par a, alors la fonction est un morphisme de dans
-> ...

[gg0]

Bonjour Edvart.

Attention, dans "des morphismes triviaux, du types ", il faut bien comprendre que le groupe est noté multiplicativement. C'est donc le même exemple, généralisé, que ton "f : x -> a*x". xⁿ veut dire x*x*x...*x avec n fois x, comme ton a*x se définit uniquement avec + comme x+x+x+...+x avec a fois x.
Je rajoute que les morphismes de groupes ont des rapports avec la notion de sous-groupe.

Mais plus généralement, à partir de n'importe quelle structure, on définit les morphismes correspondants. par exemple les morphismes des espaces vectoriels, qui sont les applications linéaires. Et tu en connais déjà un cas : les applications croissantes sont les morphismes d'ensembles ordonnés.

Donc sois un peu patient : Tu ne peux pas avoir déjà de l'expérience, alors que tu commences, mais toutes les notions qu'on t'apprend au début de l'apprentissage d'une nouvelle notion sont très importantes, sinon on attendrait pour t'en parler. parfois ça semble très abstrait au début, mais on se familiarise vite.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Et tu en connais déjà un cas : les applications croissantes sont les morphismes d'ensembles ordonnés.

Et, cas encore plus simple : les applications sont les morphismes d'ensembles sans aucune structure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Edvart]

Je comprends mieux avec la notion de "respecter" la structure d'arrivée. Merci pour vos réponses!

[Médiat]

Bonjour,

Je ne sais pas dans quel contexte vous posez cette question, mais au niveau le plus fin, "respecter la structure" est une assez bonne intuition de la notion de morphisme, mais, comme souvent avec l'intuition en mathématique, c'est une intuition dangereuse car pas assez précise (que veut dire structure dans cette expression ?). Par exemple, on peut établir un morphisme entre un ordre total et un ordre partiel (dans certains cas)

[invite47ecce17]

Bonjour,
Au passage x->x^n n'est un morphisme que si le groupe est abélien des que n est different de 0 ou 1.

[Edvart]

Mediat : en fait je pose cette question car quand j'apprends une nouvelle notion en maths, je sens l'avoir "comprise" quand je sens comment c'est construit et à quoi ça sert. Par exemple en seconde, je me souviens qu'on avait appris le calcul du barycentre sans trop se demander la raison de son existence, et j'avais eu un mal de chien à faire les calculs sans erreur. Lorsqu'un de mes amis m'a expliqué que c'était en gros le centre de gravité d'un objet plus lourd d'un endroit que d'un autre, je n'ai plus jamais mélangé les choses et le barycentre est devenu un truc tout simple.

Depuis que j'ai lu la réponse de Neluge, je me dis qu'un morphisme de groupe est une fonction qui "construit" un deuxième groupe "à l'image" du premier (l'image de l'élément neutre pour la première loi est l'élément neutre du nouveau groupe pour la deuxième loi, l'image de l'inverse pour la première loi est l'inverse de l'image pour la deuxième loi), et du coup pour moi c'est bien plus facile de m'approprier cette notion, et le fameux "f(x°y)=f(x)#f(y)" a un sens tout simple.

Alors que de se dire qu'il y a deux groupes avec chacun leur lci, et de remarquer qu'une fonction respecte ""f(x°y)=f(x)#f(y)", ça ressemble à une coïncidence ultra spécifique. Je préfère me dire que la fonction exponentielle "crée" un ensemble image, R+, qui est muni de sa lci, comme l'ensemble antécédent était muni de la sienne, et ça ne ressemble plus à une coïncidence, mais à une construction simple à comprendre.

[Médiat]

Mediat : en fait je pose cette question car quand j'apprends une nouvelle notion en maths, je sens l'avoir "comprise" quand je sens comment c'est construit et à quoi ça sert.

La démarche en soi n'est pas mauvaise, mais vous vous égarez avec votre idée de "coïncidence".

La notion de morphisme permet de "traduire" les propriétés de base d'une structure avec sa liste de symboles (un seul suffit pour les groupes) dans la "langue" d'une autre structure avec sa liste propre de symboles (dans votre exemple précédente, on traduit les propriétés de # dans la langue de °.

J'ai utilisé le mot "langue" et non "langage" volontairement pour ne pas créer de confusion avec la notion de langage, qui a une définition propre en logique, tout en prolongeant l'analogie initiée par le mot "traduire".

Attention : ce que j'ai appelé "propriété de base" correspond aux formules atomiques, pas à toutes les formules, cf. mon exemple du message #6, par contre quand le morphisme devient isomorphisme, alors toutes les formules vraies dans une des structures sont vraies dans l'autre (mais la réciproque n'est pas valide (il est possible d'avoir 2 structures vérifiant les mêmes formules mais non isomorphes)).