Homothétie 1D

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

Bon c'est peut être très bête à montrer mais je n'y arrive pas :

Je souhaiterai montrer que si f(k*x)=k*f(x), alors forcément f(x)=k*x (je suppose que c'est la seule solution en 1D ?)

Comment faire ?

Merci.
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[invite9dc7b526]

Je suppose que tu parles d'une applicaiton f d'un K-ev de dimension 1 dans lui-même et que dans l'égalité x est un vecteur et k un scalaire? Si j'ai bien compris alors l'implication est fausse. Si f(x)=ax alors pour tout b f(bx)=a(bx)=b(ax)=bf(x).

[gg0]

C'est normal,

le k de la fin est un peu n'importe quoi.
Et comme tu ne quantifies pas, difficile de savoir si c'est :
* Pour tout x, f(k*x)=k*f(x) (avec k donné)
* Pour tout k, f(k*x)=k*f(x) (avec x donné)
* Pour tout x et tout x, f(k*x)=k*f(x)
* Il existe un k et un x tels que f(k*x)=k*f(x)
* Etc.

Déjà, en écrivant correctement ton énoncé, tu devrais te rapprocher d'un traitement sérieux.

Cordialement.

NB : Si x est quelconque, prendre x=1.
NBB : Il y a au moins une forme de l'énoncé où f n'est pas une fonction linéaire.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

En fait je me suis très mal exprimé.

Il s'agit de montrer ceci :

Supposons que pour tout k f(k*x)=k*f(x)

Montrons alors que nécessairement, f(x)=c*x avec c une constante fixée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Tu ne dis rien de x. Donc on peut supposer que c'est un réel fixé. Quel est l'intérêt (*) de la conclusion ? Ou alors c'est n'importe quoi et tu veux dire que f est une fonction linéaire ?

Il ne faut jamais laisser une lettre sans statut dans un énoncé. Et à ton niveau, il est important de bien différencier la fonction f et l'expression f(x); surtout s'il y a déjà un x précédemment.

Cordialement.

(*) si x est nul, la condition dit que f(x)=f(0)=0 =0.x; s'il est non nul, quelle que soit la valeur de f(x), il existe un c tel que f(x)=cx : c=f(x)/x.

[invite8f6d0dd4]

Soit f une fonction de R dans R.
f: x ->f(x)

Supposons que pour tout k réel, f(k*x)=k*f(x).

A t'on nécessairement f fonction linéaire de x, c'est à dire : f(x)=c*x avec c une constante fixée.

En fait c'est pour un problème de thermo, je souhaite savoir si quand on a une grandeur thermodynamique extensive "J" qui dépend des grandeurs A,B intensives et C extensive, alors cette fonction thermo s'écrit forcément uniquement sous cette forme :
J(A,B,C)=C*f(A,B) avec f une fonction de R² dans R²

[gg0]

Si, pour tout x réel et pour tout k réel, f(k*x)=k*f(x), alors, en prenant x=1, on obtient f(k)=kf(1) (pour tout k). En posant c=f(1) et remplaçant k par x on obtient, pour tout x, f(x)=c.x.

On a bien besoin des deux "pour tout".

[invite8f6d0dd4]

Ok merci et désolé pour les imprécisions.

Cdt.