Courbes algebriques.

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide pour résoudre un exercice qui se trouve à la page de l'ouvrage de William Fulton, intitulé : Algebraic curves.

Le problème affirme :

Let , an irreducible form of degree , , and the homogeneous coordinate ring of .

Construct an exact sequence , where is a multiplication by .

Show that :

J'ai réussi à part le , mais pas le . pouvez vous m'aider svp ?

Merci d'avance.
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[invite5357f325]

Salut, assez rapidement parce que j'ai pas trop le temps ...
Deja d doit etre plus grand que n.
Soit S = k[x,y,z]. S est la somme directe des S_d, ou chaque S_d represente les elements de degré d.
Ta suite exacte se réécrit 0 -> S_d-n -> S_d -> Gamma_d -> 0
C'est une suite exacte d'espace vectorielle donc la dimension est additive.
Mais si R = k[x_0, ..., x_n] alors dim_k R_d = (n+d) parmi (n) (prouvé dans le Hartshorne)
Donc il te reste a calculer un bete truc binomial (d+2) parmi (2) - (d+2 -n) parmi (2) ce qui se fait bien.
(Plus d'infos demain quand je me reconnecte)

[invite5357f325]

PS : j'ai dit prouve dans le Hartshorne mais c'est mega simple a prouver (pense combinatoire)

[invite5357f325]

Bonjour,un petit message pour completer celui d'hier (desole pour les accents je suis sur un clavier etranger).

Tout d'abord je pense que le Fulton est un bon choix pour etudier les courbes algebriques. J'avais commence a le lire mais j'ai arrete au milieu car mon prof suivait un autre livre et j'ai fini par tout voir par moi meme, sauf les systemes lineaires et Riemann Roch que j'ai vu dans le Miranda (si tu t'interesse a la jolie geometrie je te le recommande aussi ! Et les exercices de Miranda sont a peu pres du meme niveau que Fulton, donc abordable sans decourager).

Voila, maintenant pour ton exercice : En fait la dimension en tant que k-espace vectoriel de c'est juste les monomes de degree d qui sont dans (pourquoi ?).
Donc tu as 4 etapes a faire :
1 Reecris ta suite exacte en terme d'elements de degree d. Montre que ca reste bien une suite exacte et que c'est bien defini.
2 Rappelle toi pourquoi si est une suite d'espace vectorielle de dimension finie alors
3 Montre que les monomes de degree d de ont dimension (n+d) parmi (n). C'est la partie un peu delicate.
4 Calcule la difference des coefficients. (Ca a l'air bete mais faut quand meme le faire, j'ai du le faire deux fois hier soir avant de trouver le bon resultat -Je suis mauvais en calcul-)

Deux remarque :
A en fait un theoreme tres celebre (tape Hilbert Serre sur google si tu es interesse) dit que pour une variete en general se stabilise et en fait est egale a un polynome ! Dans le cas d'une hypersurface c'est assez facile de le voir mais c'est aussi vrai dans le cas general, mais les calculs sont moins cools. De memoire Atiyah McDonald consacre un chapitre ou deux a ces questions.Ce polynome represente les monomes (notation multi-indice) tel que , en terme plus geometrique le nombre d'hypersurface qui contiennent . Ce polynome contient beaucoup d'infos geometrique, par exemple son degree = la dimension de ta variete, il y a aussi le genre etc...

B Sur un autre thread ta question sur les modules montre quelques lacunes en algebre commutative. Or si tu veux faire de la geometrie algebrique c'est indispensable. Bien sur personne ne te demande de connaitre la demo de Hilbert Serre par coeur par exemple mais une bonne maitrise des anneaux et des modules est demande (quotient !!, localisation, produit tensoriel apres et puis au moins la definition de l'annulateur d'une partie par exemple, etc...) Une bonne reference a ce sujet est le livre "Undergraduate Commutative Algebra" de Reid. Il est vraiment tres facile a lire, donne les bases necessaires pour un cours de geometrie algebrique et etudie un peu quelques proprietes du spectre d'un anneau. Pour une lecture plus pousse il y a Atiyah MacDonald voir Matsumura quand tu auras des questions un peu pointues.

Bonne continuation ! Pardon du message un peu long mais ce sujet est interessant il faut dire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

Bonjour,
je reprecise un dernier point. Comment voir que le nombre de monome de degree dans est bien parmi .
Commencons avec disons de degree .
Tu as donc les possibilites suivantes : . Tu peux coder ce processus de la maniere suivante :
Dessine jolis etoiles, ici 7:

Maintenant, il y a autant de monômes possibles que de lignes dans ces etoiles, la partie a gauche correspondant a et celle de droite a .
Par exemple corresponds a .
Mais en fait ce codage marche en toute generalite, prenons d = 10 et 4 variables.
Alors corresponds a (ici y n'apparait pas dans le monome).
Evidemment ca se generalise tres bien, et au final ca revient a quaser n traits (ne pas oublier qu'on part avec n+1 variables !) dans etoiles et le resultat s'ensuit.

En esperant avoir ete clair, si tu veux des precisions redis moi !

[invitecbade190]

Merci, la réponse m'a déjà été donné sur math.stackxchange il y'a quelques jours.
Cordialement.

[invite5357f325]

Bonjour,
la prochaine fois tu pourrais preciser que tu as pose la question autre part en debut de texte, histoire d'eviter que deux personnes se fatiguent a repondre exactement pareil a deux endroits differents.

[invitecbade190]

Salut petrifie :

Je me permets d’insérer le lien suivant : http://math.stackexchange.com/questi...rdinate-ring-o ici pour le conserver en cas de besoin.

Cordialement.