Ensemble de cantor

[invite5357f325]

Bonjour,
tout d'abord je precise que ceci est un exo que je dois rendre donc je ne m'attends bien sur pas a ce que vous me donniez la solution toute crachee

Je m'interesse a la fonction definie sur (bon en fait sur mais on s'en fout ici).
On cherche , son ensemble de Julia. (Definition : s'il existe un voisinage V de z_0, tel que la famille restreint a V est une famille normale, alors z_0 est dit dans la composante de Fatou. L'ensemble de Julia est le complementaire de l'ensemble de Fatou).

Je dois montrer a la main (pas de gros theoreme lie a la dynamique complexe, en revanche j'ai sans doute le droit d'utiliser un peu d'analyse complexe) que
1)
2) J_f est homeomorphe a un ensemble de Cantor.

Bon pour le 1) j'ai juste fait quelque estimations grossieres, mais en gros rien de vraiment tres concluant. Deja comme on a pour de module assez grand, il existe un disque tel que sur le complementaire de ce disque, la fonction converge normalement vers la fonction constante (donc avec D le disque en question )
Sinon pour est stable par , et comme le lieu de Julia reel de est bien inclus dans . Pour les points pres du lieu de Julia reel avec une partie imaginaire non nulle qui sont proches du lieu de Julia je sais pas trop comment traiter, on a et j'ai pas l'impression qu'on peut conclure immediatement que la partie reelle ou imaginaire converge vers l'infini, ni vers un point fixe.

Pour le point 2) j'ai vraiment aucune idee. Peut etre conjuger astucieusement f en fonction de ses deux points fixes (-2 et 3) mais sinon, c'est un peu le neant.

Merci d'avance et bonne soiree.
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Je n'ai jamais étudié ce genre de question, alors je dois bien avouer qu'elle me déroute un peu (tout en m'intéressant grandement). Voici donc quelques pistes de réflexion que je poursuivrais.

Pour la question 1 :

On peut assez aisément montrer que l'ensemble est envoyé par dans l'ensemble . Puisque la suite fait tendre uniformément ce dernier ensemble vers le point à l'infini, cela généralise les résultats que vous avez obtenus jusqu'à maintenant. Cependant, ce constat peut être généralisé davantage.

La fonction étant symétrique sous la conjugaison complexe, il suffit d'étudier ce qui se passe du côté des points vérifiant . J'étudierais tout d'abord la croissance de l'argument des premiers termes de la suite lorsque . En fait, je chercherais à montrer que les nombres (strictement) complexes près de l'axe réel positif deviennent, via l'application à quelques répétitions, « de moins en moins réels ».

Je considérerais ensuite l'ensemble pour assez petit. C'est tout le plan complexe moins deux « disques » compacts entourant les zéros et de ; en fait, ces disques contiennent . L'étude menée au paragraphe précédent montrerait que les éléments (strictement) complexes de ces « disques » sont éventuellement envoyés dans . Ainsi, il suffirait d'étudier l'action répétée des sur .

La définition de n'est pas anodine, servant à pouvoir appliquer judicieusement le principe de minimum de l'analyse complexe. Ainsi, pour tout , nous aurions .

En faisant tendre vers 0, il en résulterait que est dans l'ensemble de Fatou.

Pour la question 2 :

J'étudierais les zéros des fonctions , puisque des voisinages de ceux-ci sont envoyés (via le associé) à un voisinage de 0, ce dernier étant envoyé par dans l'ensemble . Ceci noté, je voudrais surtout montrer que les zéros des s'intercalent entre les zéros de pour tout . J'essaierais aussi de trouver les plus grands voisinages qui sont ainsi compris dans l'ensemble de Fatou, espérant ainsi que tout ce qui reste fasse partie de l'ensemble de Julia.

Je n'ai pas réfléchi à la façon précise de mener à bien cette piste.

Cordialement.

[invite5357f325]

Bonjour,

Merci beaucoup pour les pistes de reflexion ! Je pense que tout est bon. Pour le point 1), si je note j'obtiens que , et on voit bien immediatement que si . Un meme raisonnement montre cette fois que si , il le reste apres composition par ce qui est une bonne nouvelle.
Du coup pour les points dans le quart superieur du plan complexe on sait que pour la partie imaginaire est croissante apres composition car on a par definition . Sinon on a le cas . Le module de la partie reelle est egal a , donc apres une seconde iteration de , a un partie reelle > 1 et on se ramene au cas precedent. Le quart sud-est du plan est symetrique.
On peut donc appliquer l'argument (bien pense !!) des pour rogner l'ensemble de Julia et finalement montrer qu'il est inclus dans .

Pour le point 2) votre argument explique bien les choses je pense. Comme est un revetement de degree 2, on peut regarder par exemple le zero positif de , . A present, la fibre de continent deux points, disons et , et on peut regarder les fibres par reccurence, et . Comme le point de ramification de est 0, la fibre contiendra deux elements a chaque fois, pas moins. Par consequent, on peut definir recursivement une application, envoyant chacun des points sur un . On obtient donc un arbre binaire qui est inclus dans , et chaque point de cet arbre possede un voisinage ouvert, compose d'intervalle qui font parti du Fatou. (Bon je n'ai essentiellement rien fait a part reformuler votre argument bien sur).
Finalement il faudrait montrer que l'ensemble de Julia n'est pas vide (bon c'est un theoreme mais ca serait quand meme pas mal de le voir ...) Premierement, il continent car 3 est un point fixe mais .
est un point plus interessant dans le Julia, en effet la fibre de contient un point dans ce qui permet, avec la meme procedure de montrer que l'ensemble de Julia est infini et donc on s'approche un peu du Cantor, ce qui me va pas si mal !

Un grand merci pour les indications encore !

[invite5357f325]

En fait mon dernier argument semble un peu plus puissant que je n'avais pense : en effet les points de module grand sont stable par donc les fibres de points de petit module resteront de petit module dans l'intervalle a moins qu'il ne soit envoye dans . Par consequent, on peut faire mieux que prendre la fibre de , on peut regarder les preimages successives de la composante connexe du Fatou contenant , appellons le ce qui donne un recouvrement ouvert de l'ensemble de Fatou . Si un point est dans , il ne peut pas aller dans a moins de passer par . Donc tout le Fatou de l'intervalle est bien obtenu comme des preimage de V, mais il ne remplit pas tout a cause des preimages successives de Ce qui se rapproche quand meme pas mal d'un Cantor !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

En fait, pour la question 2), on peut diviser le problème en 3 parties :

a) Trouver un ensemble « naturel pour la situation » homéomorphe à l'ensemble de Cantor ;
b) Montrer que l'ensemble de Julia est compris dans cet ensemble de Cantor ;
c) Montrer que cet ensemble de Cantor est compris dans l'ensemble de Julia.

Les deux premières parties sont résolubles simultanément et l'intuition de ce qu'est un ensemble de Cantor suggère fortement la troisième partie, qui nécessite cependant une certaine argumentation.

Rappelons que . Posons et . Ainsi, comme fonction multivaluée, est l'inverse de . Il est aisé de montrer que et que sont des homéomorphismes ; ainsi, est une fonction (multivaluée) continue injective localement inversible. Nous voyons bien que l'intervalle n'est pas dans l'image de ; nous savions déjà que cet intervalle faisant partie de l'ensemble de Fatou et c'est ce que cette « omission dans l'image de k » nous rappelle. Il est aisé de montrer par récurrence que l'image de est comprise dans l'image de ; notons que les intervalles omis sont assurément compris dans l'ensemble de Fatou. Cela montre une forte ressemblance avec la construction de l'ensemble de Cantor, mais un argument est de mise pour montrer que cette construction lui est homéomorphe.

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Afin de construire l'ensemble de Cantor usuel, nous considérerions plutôt avec et . Afin de montrer l'équivalence de ces deux constructions, il suffit de trouver (par récurrence) des homéomorphismes tels que pour tout , puisque les deux « ensembles de Cantor » déterminés par k et par k' sont définis comme limites inductives.

Cela répond aux deux premières parties.

Pour la troisième partie, supposons que est dans l'ensemble de Cantor. L'argument revient essentiellement à montrer qu'aucun voisinage de z n'est inclus dans l'ensemble de Cantor...

Soit un voisinage réel . Il suffit montrer que pour suffisamment grand, n'est pas inclus dans l'image de , c'est-à-dire que contient (pour un approprié) un intervalle compris dans et omis de . En effet, en appliquant , le point à l'infini serait un point limite de ; or, étant dans l'ensemble de Cantor, pour tout entier m. Ainsi, en prenant une suite d'ouverts convergeant vers , nous pourrions extraire une suite de points dans chacun de ces ouverts qui d'une part convergerait vers et dont, d'autre part, chaque terme convergerait vers l'infini sous l'action répétée de . Ainsi, pour tout voisinage de , la suite ne convergerait pas : serait dans l'ensemble de Julia.

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Les fonctions et sont « partout contractantes » : leur différentielle est partout inférieure à 1 sur le domaine . En effet, . Ainsi, pour tout entier m et pour tout . Donc la composante connexe de l'ensemble de Cantor contenant le point z est de taille inférieure à quel que soit m. Donc, si , il suffit de prendre n tel que et nous obtenons .