Ensemble de Cantor et rationnels

[taladris]

Salut,

voici un probleme sur lequel je seche completement. Il existe peut-etre une solution evidente, mais je ne vois pas comment attaquer le probleme.

La question est la suivante: soit C l'ensemble de Cantor. Il est evident que C contient des nombres rationnels (0 et 1 par exemple) et facile de voir que C contient des irrationels (C est non denombrable, et est denombrable, donc C doit contenir des irrationels). Si x est un point de , on note le translate de C par x. Existe-t-il x (necessairement irrationel) tel que x+C ne contient aucun nombre rationnel ? Intuitivement, je dirai que non mais sans l'ombre d'un debut de preuve.

Plus generalement, existe-t-il un critere pour savoir si un sous-ensemble non denombrable et totalement discontinu de contient des nombres rationnels? J

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

La même question a été posée ici : Irrational Cantor set?. La solution utilise le théorème de Baire.

[taladris]

J'avais l'intention de poster sur MathStackExchange si je n'obtenais pas la reponse ici .

Merci beaucoup.