Restriction isomorphisme d'espace vectoriel : question basique

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Soit f un isomorphisme qui va de E dans E (les dimensions ne sont pas forcément finies).

Supposons qu'il existe F inclus dans E tel que f(F) inclus dans F.

Je souhaiterai comprendre pourquoi en fait f(F)=F ?

En effet, f est un isomorphisme de E dans E, mais rien ne dit que la restriction :
f : F ->F
est bien un isomorphisme ?

On pourrait ne pas atteindre "tous les points" de F (par exemple, il pourrait exister A inclus dans F tel f(F) inclus dans A).
Merci !
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[invited8dd7571]

Si f est un isomorphisme, alors f restreint a F (qui, a priori, va de F dans f(F)) est aussi un isomorphisme ; il vous suffit de reprendre la définition d'un isomorphisme pour vous en convaincre.

Par suite, les dimensions de F et de f(F) sont égales, c'est pourquoi l'inclusion implique .

[invite93e0873f]

Qui dit que ?

Un exemple concret pour valider votre idée : l'espace fonctionnelle des « séries » absolument convergentes . Par la convergence absolue, n'importe quelle bijection induit une bijection sur cet espace (en effectuant la permutation correspondante des termes de la série). Un exemple de sous-espace F : les séries telles que si . Un exemple d'application f : celle associée à la bijection . Elle se restreint bien en , mais n'est pas surjective, puisque l'image consiste en les séries telles que si .

Si le sous-espace F est de dimension finie, alors le commentaire de Neluge s'applique.