Transformée de Fourier compliquée..

[invite8cc8b94d]

Bonjour,

Je souhaiterai calculer la Fourier Transform de la fonction suivante : ,
ou est le sinus cardinal .

Donc :


Est-il possible d'obtenir une closed form ?

Je pense qu'une approche peut être d'utiliser une intégrale de contour en passant par l'axe réel. Cependant, le choix du contour ne m'apparaît pas évident, et il doit tenir compte des branch cuts.
Mon problème principal est que le calcul des résidus donne 0, y compris calculés à l'infini, alors que l'intégrale ne donne pas 0. Ou alors je m'y prend mal.

Je sais aussi que l'intégrale sans l'exponentielle peut se calculer, en utilisant un changement de variable et une Laplace Transform, ça peut être une piste également.

Merci de votre aide.

LAZAR
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[Universus]

Il est normal qu'une intégrale de contour soit nulle, puisque l'intégrande est holomorphe ! La présence de la racine carrée ne produit pas de points ramifiés, puisque la parité du sinus cardinal « compense » ; cela se voit directement en considérant la série de Taylor du sinus cardinal :

.

Indirectement, cela signifie aussi que le sinus cardinal ne décroît par vers 0 lorsque (le module d')un complexe tend vers l'infini ; après tout, qui diverge certainement pour x réel tendant vers l'infini...

Une idée comme ça : en se restreignant à des compacts, il y a peut-être moyen de permuter l'intégrale et la somme dans la série de Taylor ci-dessus. Ce faisant, ça revient à sommer des transformées de Fourier de fonctions (1+x^4)^k, ce qui se fait peut-être relativement bien.

[invite8cc8b94d]

Merci de votre réponse.

Oui diverge.

J'avais essayé la permutation entre la somme et l'intégrale. La Fourier de donne une une fonction compliquée avec des termes contenant des fonctions et des fonctions hypergéométriques, la somme sur n devant un cauchemar...

LAZAR