[MPSI] PGCD de deux polynomes.
Bonjour, je bloque sur un exercice tous simple de PGCD : je doit déterminer le PGCD du polynôme X⁴ + 2X³ -3X² -4X +4 avec sa dérivée. Mon énoncé me suggère de commencer par faire le division euclidienne de 4P et 1/2P'.
J’obtiens alors :
donc
donc
donc
donc
Est-ce correcte ?
De cela je dois en déduire que P possède deux racines doubles et donner la factorisation de P dans R.
Cordialement.
Bonjour.
Tu es vraiment sûr que P et P' sont des multiples du polynôme nul ?????donc
Absolument pas, j'en sent qu'il y a une coquille dans mon raisonnement, un simple test avec X=1 ou 2 me montre que mon PGCD est faux. En suivant mon énoncé j'arrive a montrer que PGCD(4P, 0.5P') = X² + X -2 j'ai en revanche du mal a faire le lien avec le PGCD(P,P'). Précédemment j'ai utilisé logarithme d'Euclide que j'ai ensuite remonté, c'est la ou j'arrive à :
8(2X+1)P = ((2X+1)² -9)P'
A quoi sert ce calcul ?
Quand s'arrête l'algorithme d'Euclide ? Où apparaît alors le pgcd ?
Car tu as déjà trouvé !!!!
NB : Avoir écrit que le pgcd est 0 aurait du te faire sortir les yeux de la tête et te la taper contre les murs ! C'est tellement énorme, quand on sait un minimum ce que veut dire pgcd que c'est inacceptable !
Dernière modification par gg0 ; 20/04/2015 à 13h05.
PGCD = 0 je suis d'accord j'ai honte de l'avoir mis ^^.
Mon calcul sert a trouver le PGCD de 4P et 0.5P', pour cela j'utilise l'algorithme d'Euclide qui se termine lorsque le reste est égal a 0, le PGCD est alors le diviseur de la division euclidienne nous donnant un reste de 0.
Ici j'ai :
4P = 0.5P' * (2x+1) -9(X²+X-2)
0.5P' = (X²+X-2)(2X+1) + 0
Donc le pgcd est ...
donc PGCD(4P, 0.5P') = X²+X-2.
Eh oui, c'est le dernier diviseur.
L’exercice me demande de trouver : PGCD(P,P')
La question que je me pose c'est si PGCD(4P, 0.5P') et PGCD(P,P') sont égaux ?
Tu n'as rien dans tes cours là dessus ? Ou ne peux-tu répondre seul en revoyant ce que veut dire pgcd ?
La seule chose me venant à l'esprit est Bezout :
Si D est le PGCD de A et B deux polynômes alors il existe U et V deux polynômes tq D = AU + BV
Donc je dirais que PGCD(P',P) = PGCD(4P, 0.5P') = X² + X -2
La mémoire n'est peut-être pas suffisante. Peut-être relire le cours depuis le début pour revoir ce qu'est un pgcd ne serait-il pas de trop. Les cours, ça se lit, ça s'apprend, ça se relit pour réapprendre, jusqu'à ce qu' ce soit du archi-connu.
Bonne lecture !
Soient A,B polynômes, C polynôme unitaire
PGCD(CA,CB) = C * PGCD(A,B)
Désolé pour le double-post :
On a montrer que PGCD(4P, 0.5P') = X² + X -2
or PGCD(A,λB)=PGCD(A,B) pour λ réel non nul
Donc PGCD(P, P') = PGCD(4P, P') = 2*PGCD(2P, .05P')= 2(X² + X -2)
Nous y voilà je crois.
De façon simple, que veut dire pgcd ?
Si tu es capable de répondre à cette question, ce que tu as fait est évident. Si non, il y a un grave problème dans ta façon d'apprendre.
NB : Ta dernière ligne est assez inintéressante, et montre que tu ne comprends pas ce que tu fais, de quoi tu parles.
Suite à tes messages, et bien que tu n'aies pas répondu à ma question "que veut dire pgcd ?", quelques remarques :
Soient A,B polynômes, C polynôme unitaire alors PGCD(CA,CB) = C * PGCD(A,B)
PGCD(P, P') = PGCD(4P, P') = 2*PGCD(2P, .05P')
2 n'est pas un polynôme unitaire.
A revoir dans ton cours, pour que tu comprennes ce dont tu es sensé parler :
La notion de diviseur (et multiple) pour les polynômes : P est un diviseur de Q signifie ....
La règle évidente : pour k réel non nul, si P est un diviseur de Q alors kP est un diviseur de ... et ... est un diviseur de kQ.
La définition de pgcd : Le pgcd des polynômes P et Q est ...
Il y a un lien entre les deux qui éclaircit tout : pgcd signifie "plus grand diviseur commun". La notion est issue de l'arithmétique des entiers. Le pgcd de 14 et 49 est 7 (liste les diviseurs de 14 et ceux de 49). Pour des polynômes, c'est plus complexe, et généralement, pour avoir unicité du pgcd, on lui impose d'être unitaire.
Voilà. Reviens sur le forum préciser tout ce que je viens de présenter (définition de diviseur et pgcd, la règle évidente et sa preuve) et ton avancée sur ton sujet. Je t'aiderai à approfondir les éventuels détails.
Cordialement.
NB : Ce n'est pas sur un forum que tu devrais trouver les explications de ton cours, ton prof est là pour ça.
PGCD : Plus Grand Commun Diviseur
Pour des entiers a et b, le PGCD de a et b est le plus grand diviseur positif commun à a et b
Pour les polynômes, il s'agit de tous les diviseurs communs à A et B deux polynômes, de plus haut degrés
Regarde bien ton cours,
la règle que tu as citée (Soient A,B polynômes, C polynôme unitaire alors PGCD(CA,CB) = C * PGCD(A,B) ) n'a de sens que si on définit le pgcd comme un polynôme unitaire; ce qui assure son unicité.
Sais-tu ce que veut dire unitaire ?
Quelle est la définition exacte du pgcd dans ton cours ?
Que veut dire diviseur de A (A polynôme) ? Quels sont les diviseurs de X²-1 ?
- Soient P et Q deux polynômes, On dit que P divise Q si il existe X appartenant a K[X] tq Q = PX
- Soit k un réel non nul, si P est un diviseur de Q alors kP est un diviseur de kQ et P est un diviseur de kQ.
Supposons que P divise Q
donc il existe k entier non nul tq Q = kP
donc kQ = k*k*P
donc kP divise kQ et P divise kQ
- Soient P, Q et D trois polynômes, le PGCD du couple (Q,P) correspond a tout polynôme D vérifiant :
*D multiple commun de P et Q
*Tout diviseur commun a P et Q divise D
Il existe un seul polynôme unitaire satisfaisant ces 2 conditions.
Edit :
« On appelle PGCD des polynôme A et B tout diviseur commun de degrés maximal »
« PGCD unitaire
Deux PGCD de A et B sont des polynômes associés :
Si D1 et D2 sont deux PGCD de A et B alors il existe λ élément non nul de K tel que : D2 = λD1
Il existe un unique PGCD unitaire.
Les PGCD de A et B sont les polynômes λAB ou λ est un élément non nul de K
Quel dommage que tu n'appliques pas ta propre définition :
"il existe X appartenant a K[X] tq Q = PX" (avec une grosse erreur)
"Supposons que P divise Q donc il existe k entier non nul tq Q = kP" Pourquoi un entier ? Ce n'est pas ce que dit ta définition ! Comment veux-tu comprendre si tu change d'idée d'une ligne à l'autre ?
Alors reprenons à la base :
- Soient P et Q deux polynômes de K[X], On dit que P divise Q si il existe R appartenant a K[X] tq Q = PR
Bien évidemment, on ne va pas appeler X le nouveau polynôme, X désigne soit la variable formelle soit le polynôme associé.
Prenons K=R. Donc les polynômes à coefficients réels, que tu manipules depuis le lycée. Quels sont les diviseurs de X²-1 ?
Dernière modification par gg0 ; 21/04/2015 à 11h06.
Quels sont les diviseurs de X²-1 ?
C'est l'ensemble des polynômes P et Q tq X² - 1 = PQ, soit la réunion des diviseurs X+1 et X-1
Oh non ! Il y a bien d'autres diviseurs, X²-1 lui-même, ou 1. Ou 7 (prouve-le); ou 2X+2 (prouve-le); ou X/5-1/5 (prouve-le).
Quand tu auras fait ça, tu pourras prouver la règle "évidente" que j'évoquais :
Pour k réel non nul, si P est un diviseur de Q alors kP est un diviseur de Q et P est un diviseur de kQ.
Bon travail !
NB : Tu n'as pas dû bien comprendre la notion de "polynômes associés" et son intérêt.
X² +1 = 7(X²/7 + 1/7) donc X²+1 est divisible par 7
Pour la suite je continuerais tout-a-l'heure mais je suis pas sur de savoir exactement comment il faut s'y prendre
