PGCD//PPCM de deux polynômes

[invitecd43cf61]

Bonjour,

j'apprends la méthode du PGCD de deux polynomes,

j'ai

on me demande de calculer le PPCM, si j'ai bien compris on remarque que le PGCD est
(2-x), car il est commun à P1 et P2 => ?

Je vous remercie pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

2-x, ou x-2 est le pgcd de P1 et P2, le PGCD de P1,P2 et P3 étant 1.
Ok pour le PPCM. On peut laisser le - de côté. Il n'y a pas unicité du pgcd ou du ppcm, sauf à décider d'une forme particulière. par exemple si on convient que le coefficient dominant doit être 1, le pgcd de P1 et P2 est x-2, et le ppcm des trois est (2-x)²(x-5)(x²-15).

Cordialement.

[invitecd43cf61]

Ce que je ne comprends pas c'est que si on considére que le PPCM des trois =1;
alors par définition le PPCM(p1,p2,p3)=P1*P2*P3?

Et pourquoi annule t-on le signe négatif ?

(j'utilise cette méthode pour déterminer le polynôme minimal d'une matrice à valeur
bloc diagonale)

[Amanuensis]

Ce que je ne comprends pas c'est que si on considére que le PGCD des trois =1;
alors par définition le PPCM(p1,p2,p3)=P1*P2*P3?

[En rouge une correction d'une inattention.]

Non. Si on a bien pour deux éléments PGCD(P, Q)*PPCM(P, Q) = P*Q (1), cela ne se généralise pas aussi simplement à trois éléments ou plus.

(1) à la multiplication par une unité près.

Exemple sur les entiers (6, 15, 10), donc le PPCM est 30 et le PGCD est 1. (Beaucoup de propriétés des PGCD et PPCM sont communes aux entiers et aux polynômes.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ce que je ne comprends pas c'est que si on considére que le PGCD des trois =1;
alors par définition le PPCM(p1,p2,p3)=P1*P2*P3?

Je ne sais pas quelle définition du PPCM tu utilises, mais généralement, c'est un polynôme de degré minimal qui est multiple des trois (il n'y a pas unicité). dans ton cas, P1*P2*P3 n'est pas de degré minimal.

Et pourquoi annule t-on le signe négatif ?

Parce qu'il ne sert à rien. Si P est un PPCM, -P en est aussi un.

Cordialement.