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Pgcd-ppcm



  1. #1
    SoaD25

    Pgcd-ppcm


    ------

    Bonjour, je cherche un exo sur le PPCM et le PGCD
    Trouver tous les entiers a,b strictements positifs tels que a+b=2+m où m désigne PPCM(a;b).

    Ce que j'ai fait :

    On pose d = pgcd(a;b)
    alors a = da' et b = db' avec a', b' premiers entre eux.
    L'équation est donc équivalente à da' + db'= 2 + m (1)

    or md = ab = d²a'b' soit m = da'b'.
    (1) <=> da' + db'= 2 + da'b' <=> d(a' + b' - a'b') = 2
    D'où d divise 2.

    Donc d= 1 ou d=2.

    => Si d = 1 alors m = ab.
    D'où a + b = 2 + m <=> a + b = 2 + ab <=> a + b - ab = 2 ou encore a(1-b) + b = 2.

    Et là je ne vois pas comment continuer... En fait je pense que je devrais faire un autre raisonnement

    Merci

    -----

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  3. #2
    SoaD25

    Re : Pgcd-ppcm

    Personne ? De mon côté en prenant d=2, j'ai trouvé une solution a=b=2 mais c'est tout...

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Pgcd-ppcm

    Si tu écris que a = (b-2)/(b-1) tu vois que a est le quotient de 2 nombres consécutifs. Ce ne peut être un entier sauf si b=2.

  5. #4
    SoaD25

    Re : Pgcd-ppcm

    Merci je vois et donc la seule solution est a=b=2 ?

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Pgcd-ppcm

    Oui, puisque a=0 est exclu.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    SoaD25

    Re : Pgcd-ppcm

    Ok merci !

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