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Suite, récurrence.



  1. #1
    VegeTal

    Suite, récurrence.


    ------

    Bonsoir,

    J'ai besoin de vous pour m'aider à conclure une question :

    on considère l'ensemble des suites vérifiant :



    On associe à les suites et telles que :



    et

    1)montrer que est inférieur ou égal aux nombres . En déduire que est croissante. Par un même travail déduire que est décroissante.

    ce que j'ai fait :

    comme

    remplit simultanément les inégalités suivantes :









    d'où par addition

    Mais je n'arrive pas à déduire que cette suite est croissante. Une piste ?

    -----
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Suite, récurrence.

    Salut VegeTal,

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    Mais je n'arrive pas à déduire que cette suite est croissante. Une piste ?
    Tu veux montrer que autrement dit que ...

  4. #3
    VegeTal

    Re : Suite, récurrence.

    ok autant pour moi, je cherchais avec la méthode casse pillon. Je vous tiens au courant.
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  5. #4
    VegeTal

    Re : Suite, récurrence.

    2) prouver que .

    comme est croissante ; de plus on a montré que

    d'où

    avec un raisonnement analogue on monte que

    A partir de cela, puis-je directement affirmer que ?

    3)prouver que et sont convergentes et que leurs limites respectivement notées et vérifient .

    comme c'est à dire bornée et que est strictement croissante on en déduit que est convergente et que .

    de même d'où

    puis-je continuer sereinement ?
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : Suite, récurrence.

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    A partir de cela, puis-je directement affirmer que ?
    Oui.
    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    3) (...) comme c'est à dire bornée et que est strictement croissante on en déduit que est convergente et que .
    Pour bien faire il faudrait préciser qui est : Pour tout entier naturel , ...

    Autre chose : Pourquoi est-elle bornée ?
    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    puis-je continuer sereinement ?
    Oui.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    VegeTal

    Re : Suite, récurrence.

    bornée parceque il existe deux réels et tels que

    c'est la définition non ?

    bref je continue,

    4)Montrer que pour tout entier naturel n :



    et

    en déduire que .

    5)En déduire que et que et établir la convergence de .

    Pour chercher :

    peut-on exprimer la limite de en fonction de ?



    4)Alors là j'ai commencé par faire un truc du genre et ; mais je me suis rendu compte que ça mène pas à grand chose.

    5)facile il suffit de monter que comme d'une part et d'autre part alors nécessairement . converge bien vers ?

    6)on verra quand j'aurais démontrer la 5, une piste ?

    P.S : merci de me répondre, il n'y a jamais grand monde pour plancher sur mes exos, je vais finir pas croire que vous ne les aimez pas !!
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

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  10. #7
    Arkangelsk

    Re : Suite, récurrence.

    Bonsoir,

    P.S : merci de me répondre, il n'y a jamais grand monde pour plancher sur mes exos, je vais finir pas croire que vous ne les aimez pas !!
    Euh ... Sur ce coup là :

    Equa Diff y=y^{2} j'ai plutôt l'impression que c'est toi qui as abandonné ton bébé !

  11. #8
    Flyingsquirrel

    Re : Suite, récurrence.

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    bornée parceque il existe deux réels et tels que

    c'est la définition non ?
    Non car dépend de .
    Si je définis la suite par , je peux encadrer chaque terme de la suite comme ceci : et pourtant n'est pas bornée...

    Pour pouvoir affirmer que est bornée il suffit de trouver deux constantes et telles que l'inégalité soit vraie pour tout entier naturel . Tu as déjà trouvé ... que peut-on prendre pour ?

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    4)Montrer que pour tout entier naturel n :



    et
    La deuxième inégalité c'est ?

    Pour la première inégalité on peut la ré-écrire comme ceci (on remplace tous les termes par leurs expressions en fonction des puis l'on multiplie par 4) :
    Est-ce que ça t'aide ?

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    peut-on exprimer la limite de en fonction de ?
    Je ne sais pas. Si c'est possible ça ne doit pas être évident car sinon on ne s'embêterait pas à utiliser des suites adjacentes pour prouver que converge.
    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    5)facile il suffit de monter que comme d'une part et d'autre part alors nécessairement . converge bien vers ?
    Oui. (ceci dit on ne connait pas la valeur de ...)

  12. #9
    VegeTal

    Re : Suite, récurrence.

    Ok pour la 4) . néanmoins la deuxième égalité à démontrer est bien .

    pour montrer que est bornée, on a . CQFD ?

    6)Pour chercher, c'est une question ouverte d'où la difficulté, je rédige bien le reste, et je vous dis demain, si j'avance sur 6).
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  13. #10
    Flyingsquirrel

    Re : Suite, récurrence.

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    néanmoins la deuxième égalité à démontrer est bien .
    D'accord. (je pensais que tu avais fait un copier/coller et que tu avais oublié de le modifier )

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    pour montrer que est bornée, on a . CQFD ?
    Oui.

    Pour la question n°6, je pense qu'il n'est pas la peine de chercher à exprimer la limite de en fonction de , , et . On veut savoir s'il est possible d'exprimer la limite en fonction des 4 premiers termes de la suite, mais on n'a pas besoin de connaître explicitement la relation entre la limite de et , , et .

  14. #11
    VegeTal

    Re : Suite, récurrence.

    Pour montrer que voila ce que je fais :

    Je pars de







    en additionnant les 4 inégalités et en multipliant le tout par 4:



    et après ?

    autre chose comment justifier rigoureusement que ?

    pour 6) pour l'instant le seul truc qui me parait intéressant c'est .

    Merci de votre aide.
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  15. #12
    Flyingsquirrel

    Re : Suite, récurrence.

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    en additionnant les 4 inégalités et en multipliant le tout par 4:

    Pour faire apparaître tu aurais dû sommer les inégalités puis diviser par 4. Cela donne


    mais ça ne nous avance pas tellement... (comment relier à ?)

    Ceci dit les quatre inégalités que tu as écrites sont intéressantes. Pour montrer que , il suffit de prouver que chacun des quatre termes est inférieur ou égal à ...

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    autre chose comment justifier rigoureusement que ?
    Hmmm ? Justifier que ? Il suffit de dire que comme est croissante on a qui est valable pour tout entier . En utilisant cette inégalité et on obtient bien .

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  17. #13
    VegeTal

    Re : Suite, récurrence.

    Je me lance :

    on a déjà démontré que .

    ceci conduit à
    ....
    ....



    mais comme est décroissante alors si ceci conduit à plus fortes raisons à l'inégalité :

    .

    c'est bon ?


    pour 6) d'autres idées ?
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  18. #14
    Flyingsquirrel

    Re : Suite, récurrence.

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    Je me lance :

    on a déjà démontré que .

    ceci conduit à
    ....
    ....



    mais comme est décroissante alors si ceci conduit à plus fortes raisons à l'inégalité :

    .

    c'est bon ?
    Si tu montres de la même façon que et que , oui, c'est bon.
    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    pour 6) d'autres idées ?
    Oui mais je ne vois pas comment te mettre sur la piste... Je cache ma réponse dans des balises spoiler au cas où tu voudrais encore chercher.

     Cliquez pour afficher

  19. #15
    VegeTal

    Re : Suite, récurrence.

    Je suis un peu déçue par ta réponse es tu sûr qu'il n'y a vraiment aucun moyen d'établir une relation explicite et directe entre ; ; ; et la limite de ?
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  20. #16
    Flyingsquirrel

    Re : Suite, récurrence.

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    es tu sûr qu'il n'y a vraiment aucun moyen d'établir une relation explicite et directe entre ; ; ; et la limite de ?
    Je n'ai jamais affirmé que l'on ne pouvait pas établir de relation explicite entre la limite de la suite et ses quatre premiers termes. J'ai juste dit que si une telle relation existait elle serait certainement difficile à trouver.

  21. #17
    VegeTal

    Re : Suite, récurrence.

    J'ai besoin de ton aide, est ce que cela marcherait :



    comme et ont la même limite il suffit pour trouver la limite de de trouver soit celle de soit celle de .

    comme est définie par récurrence, on peut exprimer n'importe qu'elle terme aussi grand soit-il en fonction de . Ainsi où les sont des facteurs multiplicatifs inconnus dépendant de la grandeur du terme à exprimer.

    d'où la limite de ... c'est foireux non ? je pense qu'il y a peut être quelquechose à trouver de ce côté là.
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  22. #18
    Flyingsquirrel

    Re : Suite, récurrence.

    On peut effectivement exprimer en fonction de des quatre premiers termes de la suite comme ceci : où les sont des nombres rationnels positifs (ça se montre par récurrence). Le problème est que ces coefficients dépendent de , on obtient donc en passant à la limite


    et je ne vois pas ce qui pourrait nous autoriser à dire que


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