Suite, récurrence.

[VegeTal]

Bonsoir,

J'ai besoin de vous pour m'aider à conclure une question :

on considère l'ensemble des suites vérifiant :



On associe à les suites et telles que :



et

1)montrer que est inférieur ou égal aux nombres . En déduire que est croissante. Par un même travail déduire que est décroissante.

ce que j'ai fait :

comme

remplit simultanément les inégalités suivantes :









d'où par addition

Mais je n'arrive pas à déduire que cette suite est croissante. Une piste ?
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[Flyingsquirrel]

Salut VegeTal,

Mais je n'arrive pas à déduire que cette suite est croissante. Une piste ?

Tu veux montrer que autrement dit que ...

[VegeTal]

ok autant pour moi, je cherchais avec la méthode casse pillon. Je vous tiens au courant.

[VegeTal]

2) prouver que .

comme est croissante ; de plus on a montré que

d'où

avec un raisonnement analogue on monte que

A partir de cela, puis-je directement affirmer que ?

3)prouver que et sont convergentes et que leurs limites respectivement notées et vérifient .

comme c'est à dire bornée et que est strictement croissante on en déduit que est convergente et que .

de même d'où

puis-je continuer sereinement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

A partir de cela, puis-je directement affirmer que ?

Oui.

3) (...) comme c'est à dire bornée et que est strictement croissante on en déduit que est convergente et que .

Pour bien faire il faudrait préciser qui est : Pour tout entier naturel , ...

Autre chose : Pourquoi est-elle bornée ?

puis-je continuer sereinement ?

Oui.

[VegeTal]

bornée parceque il existe deux réels et tels que

c'est la définition non ?

bref je continue,

4)Montrer que pour tout entier naturel n :



et

en déduire que .

5)En déduire que et que et établir la convergence de .

Pour chercher :

peut-on exprimer la limite de en fonction de ?



4)Alors là j'ai commencé par faire un truc du genre et ; mais je me suis rendu compte que ça mène pas à grand chose.

5)facile il suffit de monter que comme d'une part et d'autre part alors nécessairement . converge bien vers ?

6)on verra quand j'aurais démontrer la 5, une piste ?

P.S : merci de me répondre, il n'y a jamais grand monde pour plancher sur mes exos, je vais finir pas croire que vous ne les aimez pas !!

[Arkangelsk]

Bonsoir,

P.S : merci de me répondre, il n'y a jamais grand monde pour plancher sur mes exos, je vais finir pas croire que vous ne les aimez pas !!

Euh ... Sur ce coup là :

Equa Diff y=y^{2} j'ai plutôt l'impression que c'est toi qui as abandonné ton bébé !

[Flyingsquirrel]

bornée parceque il existe deux réels et tels que

c'est la définition non ?

Non car dépend de .
Si je définis la suite par , je peux encadrer chaque terme de la suite comme ceci : et pourtant n'est pas bornée...

Pour pouvoir affirmer que est bornée il suffit de trouver deux constantes et telles que l'inégalité soit vraie pour tout entier naturel . Tu as déjà trouvé ... que peut-on prendre pour ?

4)Montrer que pour tout entier naturel n :



et

La deuxième inégalité c'est ?

Pour la première inégalité on peut la ré-écrire comme ceci (on remplace tous les termes par leurs expressions en fonction des puis l'on multiplie par 4) :

Est-ce que ça t'aide ?

peut-on exprimer la limite de en fonction de ?

Je ne sais pas. Si c'est possible ça ne doit pas être évident car sinon on ne s'embêterait pas à utiliser des suites adjacentes pour prouver que converge.

5)facile il suffit de monter que comme d'une part et d'autre part alors nécessairement . converge bien vers ?

Oui. (ceci dit on ne connait pas la valeur de ...)

[VegeTal]

Ok pour la 4) . néanmoins la deuxième égalité à démontrer est bien .

pour montrer que est bornée, on a . CQFD ?

6)Pour chercher, c'est une question ouverte d'où la difficulté, je rédige bien le reste, et je vous dis demain, si j'avance sur 6).

[Flyingsquirrel]

néanmoins la deuxième égalité à démontrer est bien .

D'accord. (je pensais que tu avais fait un copier/coller et que tu avais oublié de le modifier )

pour montrer que est bornée, on a . CQFD ?

Oui.

Pour la question n°6, je pense qu'il n'est pas la peine de chercher à exprimer la limite de en fonction de , , et . On veut savoir s'il est possible d'exprimer la limite en fonction des 4 premiers termes de la suite, mais on n'a pas besoin de connaître explicitement la relation entre la limite de et , , et .

[VegeTal]

Pour montrer que voila ce que je fais :

Je pars de







en additionnant les 4 inégalités et en multipliant le tout par 4:



et après ?

autre chose comment justifier rigoureusement que ?

pour 6) pour l'instant le seul truc qui me parait intéressant c'est .

Merci de votre aide.

[Flyingsquirrel]

en additionnant les 4 inégalités et en multipliant le tout par 4:

Pour faire apparaître tu aurais dû sommer les inégalités puis diviser par 4. Cela donne

mais ça ne nous avance pas tellement... (comment relier à ?)

Ceci dit les quatre inégalités que tu as écrites sont intéressantes. Pour montrer que , il suffit de prouver que chacun des quatre termes est inférieur ou égal à ...

autre chose comment justifier rigoureusement que ?

Hmmm ? Justifier que ? Il suffit de dire que comme est croissante on a qui est valable pour tout entier . En utilisant cette inégalité et on obtient bien .

[VegeTal]

Je me lance :

on a déjà démontré que .

ceci conduit à
....
....



mais comme est décroissante alors si ceci conduit à plus fortes raisons à l'inégalité :

.

c'est bon ?


pour 6) d'autres idées ?

[Flyingsquirrel]

Je me lance :

on a déjà démontré que .

ceci conduit à
....
....



mais comme est décroissante alors si ceci conduit à plus fortes raisons à l'inégalité :

.

c'est bon ?

Si tu montres de la même façon que et que , oui, c'est bon.

pour 6) d'autres idées ?

Oui mais je ne vois pas comment te mettre sur la piste... Je cache ma réponse dans des balises spoiler au cas où tu voudrais encore chercher.

 Cliquez pour afficher

La donnée de et de la relation de récurrence défini complètement la suite : avec ces informations on peut calculer la valeur de n'importe quel terme*, on connaît donc tout de la suite (si elle est croissante, décroissante, majorée, minorée...). Cela signifie en particulier que l'on peut exprimer la limite de la suite en fonction des informations que l'on avait au départ : les valeurs de .

* Ce ne serait pas le cas si l'on ne connaissait pas la valeur de , par exemple.

[VegeTal]

Je suis un peu déçue par ta réponse es tu sûr qu'il n'y a vraiment aucun moyen d'établir une relation explicite et directe entre ; ; ; et la limite de ?

[Flyingsquirrel]

es tu sûr qu'il n'y a vraiment aucun moyen d'établir une relation explicite et directe entre ; ; ; et la limite de ?

Je n'ai jamais affirmé que l'on ne pouvait pas établir de relation explicite entre la limite de la suite et ses quatre premiers termes. J'ai juste dit que si une telle relation existait elle serait certainement difficile à trouver.

[VegeTal]

J'ai besoin de ton aide, est ce que cela marcherait :



comme et ont la même limite il suffit pour trouver la limite de de trouver soit celle de soit celle de .

comme est définie par récurrence, on peut exprimer n'importe qu'elle terme aussi grand soit-il en fonction de . Ainsi où les sont des facteurs multiplicatifs inconnus dépendant de la grandeur du terme à exprimer.

d'où la limite de ... c'est foireux non ? je pense qu'il y a peut être quelquechose à trouver de ce côté là.

[Flyingsquirrel]

On peut effectivement exprimer en fonction de des quatre premiers termes de la suite comme ceci : où les sont des nombres rationnels positifs (ça se montre par récurrence). Le problème est que ces coefficients dépendent de , on obtient donc en passant à la limite

et je ne vois pas ce qui pourrait nous autoriser à dire que