Sommation de Cesàro

[Mikiisa]

Bonjour, je n'arrive pas à montrer le fait suivant (peut-etre est-il faux ???)

Soit une suite de nombre complexe tels que la série converge au sens de Cesàro.
(i.e. tel que la suite soit convergente.

Je cherche à montrer qu'alors la suite tend vers 0 au sens de Cesàro.


En fait je ne m'en sors pas, le 1/N me bloque et ne me permet pas d'exploiter le classique Sn - Sn-1.
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[gg0]

Que veut dire "tend vers 0 au sens de Cesàro" ?

[Mikiisa]

Et bien je veux dire que la suite (a0 + ... + an-1) / n tend vers 0.

[gg0]

Ben ... multiplier par 1/N ou diviser par N ....
Une transformation classique de ta notation de somme suffit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mikiisa]

Non la série n'est pas supposer convergente. On suppose qu'elle converge au sens de Cesaro, c'est a dire que la moyenne de Cesaro des somme partielles est convergente.

plus précisement, c'est la suite
qui converge.

[gg0]

Ben justement !

Comme tu ne vois pas l'évidence, j'explique : Le 1/N qui est devant le premier peut être rentré dans la somme et tu as une série de terme général ce qui t'intéresse. Or si une série converge, son terme général ....

Mais quel dommage d'être obligé d'expliquer une manipulation aussi classique (multiplier une somme par un nombre se fait au collège).

Cordialement.

[invite93e0873f]

Ben justement !

Comme tu ne vois pas l'évidence, j'explique : Le 1/N qui est devant le premier peut être rentré dans la somme et tu as une série de terme général ce qui t'intéresse. Or si une série converge, son terme général ....

Mais quel dommage d'être obligé d'expliquer une manipulation aussi classique (multiplier une somme par un nombre se fait au collège).

Cordialement.

Bonjour,

Malheureusement gg0, ce n'est pas tout à fait aussi simple. Dire que converge au sens de Cesàro, c'est dire que la suite des moyennes des sommes partielles converge. Or, cette dernière suite ne s'exprime pas directement comme la suite des sommes partielles d'une série auxiliaire qui convergerait, dans quel cas votre argument tiendrait.

Écrivons et . Puisque converge au sens de Cesàro, la limite existe et vaut disons C; en particulier, la différence converge vers 0 lorsque N tend vers l'infini. Or, cette différence vaut



et converge (pour N tendant vers l'infini) vers , ce qui est le résultat escompté.

[gg0]

Merci de rectifier.

J'étais un peu à la masse, aujourd'hui.

Cordialement.

[Mikiisa]

Ah oui, j'aurais surement dut faire comme çà.

Finalement j'ai fait quelque chose de similaire en exprimant (a0+...+an-1)/n comme la difference Cn - (n-1)/nCn-1, ce fut assez laborieux mais j'ai reussi a m'en sortir ^^

merci en tous cas !