Hilbert

[invitef53905f1]

s' il vous plaît peut quelqu'un m'aider à répondre à ce problème:
Si Y est un espace propre correspondant à une valeur propre λ d'un opérateur T, déterminer le spectre de T | Y justifier votre reponse .
T | Y designe la restriction de T sur Y


Y =Ker(T - λId) est un sous vectoriel fermé de H donc est un sous-Hilbert ; et la restriction S de T à Y est l'homothétie x →λx .

σ(T) est l'ensemble des z tels que T - z.IdH (ie l'application x→ (λ - z).x de H dans H ) n'est pas inversible .
on doit chercher les complexes k tels que x → k.x est inversible
mais je n'arrive pas a repondre pouvez vous m'aider s'il vous plait.
merci
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[invite93e0873f]

Il y a de quoi s'en mordre les doigts de ne pas voir comment conclure ici !

Une homothétie n'est que la multiplication par un scalaire ; elle admet une transformation inverse (qui s'avère aussi être une homothétie) si et seulement si ledit scalaire est inversible...

Remarque : On considère ici seulement et pas l'application . En d'autres termes, on ne pense plus à H, seulement à Y...

[invitef53905f1]

bonjour Universus
concernant cette question j'ai ecrit:
déterminons le spectre de T_|Y
on a T_|Y: Y→Y
x→ T_|Y(x)=λx
σ(T_|Y)={k ∈C telque T_|Y -k Id est non inversible}
on a pour tout x dans Y
(T_|Y -k Id)(x)= T_|Y(x)-kx=λx-kx=(λ-k)x
donc pour tout k#λ ona T_|Y -k Id est inversible et son inverse est 1_/(λ-k) (T_|Y -k Id)
et pour k= λ on a (T_|Y -k Id)=(T_|Y -λ Id) n'est pas inversible car Y est le sous espace propre correspondant à une valeur propre λ de l' opérateur T
conclusion:σ(T_|Y)={λ}
ma reponse est elle juste .si oui pouvez vous s'il vous plait ameliorer ma redaction.
merci

[invite93e0873f]

déterminons le spectre de T_|Y
on a T_|Y: Y→Y
x→ T_|Y(x)=λx
σ(T_|Y)={k ∈C telque T_|Y -k Id est non inversible}
on a pour tout x dans Y
(T_|Y -k Id)(x)= T_|Y(x)-kx=λx-kx=(λ-k)x

D'accord.

donc pour tout k#λ ona T_|Y -k Id est inversible et son inverse est 1_/(λ-k) (T_|Y -k Id)

C'est vraiment l'inverse ? L'identité tient pour tout ?

et pour k= λ on a (T_|Y -k Id)=(T_|Y -λ Id) n'est pas inversible car Y est le sous espace propre correspondant à une valeur propre λ de l' opérateur T
conclusion:σ(T_|Y)={λ}

La conclusion est bonne, malgré l'erreur sur l'expression de l'inverse. Notez que pour , et n'est certainement pas inversible...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef53905f1]

bonjour Universus
l'inverse est 1_/(λ-k) Id
est il juste maintenant.merci

[invite93e0873f]

Oui, cela fonctionne maintenant.