Bonjour,
La densité limite de l'ensemble des premiers est nulle. Il y a donc toujours de moins en moins de premiers au fur et à mesure que l'on avance dans N. Comment, dans ce cas, attribuer à un tel ensemble un cardinal transfini ?
Si quelqu'un a la réponse ? Merci.
Bonjour,
La densité limite des carrés parfait est nulle aussi, alors qu'il y en a clairement autant que d'entiers ...
Votre intuition vous joue de mauvais tours.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
"Clairement autant que d'entiers", non, ce n'est pas franchement clair. C'est une convention depuis la bijection de Cantor. Vous trouvez clair qu'un ensemble dont la densité limite tend vers 0 ait pour cardinal un nombre transfini ? Pas moi.
Quelle définition du "nombre d'éléments" d'un ensemble proposez-vous à la place de l'équipotence ?
Pour répondre à votre question, oui, cela me semble clair que dans une liste infinie des "objets" puisse devenir de plus en plus rares sans pour autant disparaitre.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
En termes d'ensembles fini, la densité est soit 0 soit non nulle. Parler de la densité limite qui tend vers 0 (sans être nul veut dire qu'il y a à la limite une infinité d'éléments.
Algogo, tu sembles donner aux mots "densité" et "cardinal" des significations qu'ils n'ont pas. En particulier nier que le cardinal des entiers premiers est infini veut dire qu'on change le sens du mot cardinal. Donc de quoi parles-tu ?
Cordialement.
Bonjour,
Pas tout à fait exact, la densité asymptotique de {1} dans IN* tend vers 0 mais ne vaut jamais 0 (mais 1/n au rang n)Envoyé par gg0
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
De toutes façons il n'y a que trois possibilités:
- ou bien l'ensemble des nombres premiers est fini. Et on sait depuis Euclide que ce n'est pas le cas.
- ou bien il est infini.
- ou bien ce n'est pas un ensemble. Mais cette possibilité est exclue puisque les nombres premiers sont définies par la propriété que l'on sait parmi les entiers (ou alors tu contestes que les entiers forment un ensemble...)
J'admets tout cela par convention (comme vous). OK, il y a autant de carrés que d'entiers. Mais pourquoi, dans ce cas, parler de "raréfaction" des nombres carrés par rapport aux entiers ? Contradiction. Soit il y en a autant, soit il y en a moins. S'il y en a autant, la bijection nous interdit de parler de densité. S'il y en a moins, la densité nous interdit de mentionner la bijection. Il ne peut pas y avoir "autant" et "moins" en même temps.
Non, des définitions fondées en raison.
Non, seulement deux définitions que vous mélangez allègrement : le cardinal et la densité !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci médiat de rectifier, j'étais allé un peu vite ... (je pensais plus au dentiste et à la dent qu'il allait m'arracher qu'aux mathématiques). C'est le type de décroissance qui intervient.
Cordialement.
Algogo :
Pourquoi utiliser cette formulation qui ne dit pas grand chose ? On peut aussi bien dire qu'il y a plus d'entiers que de carrés d'entiers, puisque les carrés d'entiers sont des entiers et qu'il y en a d'autres.OK, il y a autant de carrés que d'entiers.
Par contre, dire que les entiers carrés d'entiers sont en nombre infini dénombrable, ou que le cardinal de l'ensemble des entiers premiers est le cardinal des entiers, ou qu'il existe une bijection entre les premiers et les entiers quelconques, ces formulations permettent d'éviter la notion de "autant" qui utilise notre expérience des ensembles finis de petite taille, mais n'a aucune signification pour les ensembles infinis.
Comme tu le ressens bien, utiliser ces mots "autant d'éléments", "plus d'éléments" aboutit à tout mélanger. Les mathématiciens ne les utilisent pas dans ce cas, sauf pour expliquer quelles sont les idées derrière la notion de cardinal; Par contre, rien ne s'oppose à dire qu'il y a plus de nombres réels que d'entiers. mais ce n'edst pas ce qu'on écrit généralement en maths. On préfère traiter cette question en termes de cardinaux.
Cordialement.
Nb : On retrouve ce vocabulaire imprécis dans beaucoup de textes de vulgarisation sur l'infini. Mais il faut toujours préférer la vraie science à sa version vulgarisée.
Je pense au contraire que des mots simples comme "autant" ou "moins" permettent de comprendre de quoi on parle et ainsi d'éviter l'amalgame. Dire que deux ensembles sont en nombre infini dénombrable revient à dire de manière plus savante qu'il y a "autant" d'éléments dans l'un que dans l'autre. Mais la manière ne change pas l'idée. Non, je ne confonds pas "cardinal" et "densité", mais il se trouve que ces deux notions sont liées. Si l'on parle de "raréfaction" des premiers par rapport aux entiers, c'est que les premiers sont en nombre moindre, et que nécessairement leur cardinal (nombre d'éléments d'un ensemble) est plus petit. Il ne s'agit pas de deux définitions différentes, mais deux façons de considérer l'infini, qui ne s'accordent pas.
Désolé, Algogo,
ce n'est pas toi qui décides seul de ce que veut dire "cardinal". En maths, le mot a une signification précise depuis plus de 100 ans, on ne va pas changer parce que ça te pose des problèmes.
Ensuite, sur ce que tu dis, il semble que tu veux appliquer aux ensembles infinis les règles des ensembles finis. Ça ne marche pas ! C'est dommage, mais ça ne marche pas. C'est d'ailleurs ce qui a bloqué les mathématiques grecques (lire les "éléments" d'Euclide) : l'un des axiomes d'Euclide (et de la plupart des grecs anciens) était que le tout est plus grand que la partie. ce qui est manifestement faux pour un tout infini.
Une remarque : ta dernière phrase dit le contraire de la précédente. S'il s'agit de deux façons différentes de considérer l'infini, tu ne peux pas parler de cardinal dans le cadre d'une réflexion sur la raréfaction.
Dernière chose : pas d'infini dans la raréfaction des nombres premiers, on passe à la limite, mais on ne considère aucun ensemble infini : Soit N un entier et Pi(N) le nombre des entiers premiers inférieurs à N; Alors Pi(N)/N devient de plus en plus proche de 0 quand N augmente indéfiniment.
Sous cette forme, ça aurait pu être un théorème des anciens grecs (pas d'infini effectif, seulement de l'indéfini, de l'infini potentiel).
Bon, inutile d'épiloguer, tu ne sembles pas vouloir passer à des mathématiques véritables, tu préfères apparemment les notions floues ("autant d'éléments") à la rigueur des maths.
Cordialement.
L'intuition dit que "un entier sur deux est pair", "un entier sur trois est multiple de trois", etc et donc que les multiples de n sont de moins en moins nombreux au fur et à mesure que n augmente. La notion de densité formalise cette intuition. D'un autre côté l'intuition dit ausi que si on peut mettre en correspondance biunivoque les éléments de deux ensembles, alors ces ensembles ont le même nombre d'éléments. La notion de cardinal, due à Cantor, formalise cette intuition. Les deux intuitions sont également légitimes, mais comme tu le dis elles sont contradictoires. Il faut juste être capable de manier ces notions selon les besoins du moment.
On ne peut pas dire plus faux à propos du cardinal : ce n'est pas le cardinal qui est défini comme le nombre d'éléments, mais au contraire, c'est le nombre d'éléments qui est défini comme le cardinal.
Que vous le vouliez ou non, cardinal et densité sont deux définitions extrêmement différentes !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci à tous les trois (merci à Minushabens de constater cette contradiction).
J'ai encore une question.
Si l'on pouvait décomposer N en une infinité d'ensembles de densité nulle, que pourrait-on en déduire ?
Merci.
On le peut.
Chacun des ensembles ayant un seul élément est de densité nulle et N est la réunion de tous ces ensembles.
Toujours le même problème : On ne peut pas utiliser avec l'infini les règles habituelles du fini.
Cordialement.
Bonjour,
A mon avis, pas grand chose :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci. La réunion de deux ensembles infinis de densité nulle (par exemple ensemble des carrés + ensemble des premiers) est-elle aussi un ensemble de densité nulle ?
Et si tu cherchais toi-même la réponse à ta question ?
Je pense que oui, mon général, mais je n'ai pas ta science, je cherche seulement à comprendre des notions simples !
Ben .. il suffit d'appliquer la définition ...
La seule chose pas totalement évidente c'est qu'il ne faut pas oublier que le nombre d'éléments de la réunion de deux ensembles finis peut être inférieur à la somme des nombres d'éléments de chacun des deux ensembles.
D'autre part, ces notions ne sont simples qu'une fois vraiment mathématisées. Donc tu les as mathématisées, donc tu sais faire ...
En l’occurrence, ce sont les ensembles infinis qui m'intéressent.
Une dernière question idiote et je m'arrête : supposons que la densité asymptotique de N soit nulle. Son cardinal serait-il toujours Aleph-0 ?
Bonjour,
La densité de IN dans quoi ? Quel rapport avec le cardinal (visiblement vous continuez de faire la confusion) ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La réunion d'une infinité (dénombrable) d'ensemble d'entiers de densité nulle est-elle un ensemble de densité nulle ?
Réponse donnée aux messages #17 et #18.
Qui demande de savoir de quoi on parle, évidemment.
Pas très pédagogique la réponse, mon général. Je ne parle pas d'ensembles à un seul élément mais d'ensembles infinis. Leur réunion infinie est-elle un ensemble de densité nulle ? Je présume que non, alors.
Merci.
Les réponses précédentes vous donnent une solution simple : Soit
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Donc la réponse est non. Merci.
Si déjà avec des ensembles à 1 seul éléments, la densité de la réunion peut être 1, on voit tout de suite ce qui se passe pour des parties dénombrables de densité nulle.
Encore faut-il accepter de réfléchir un peu ...
Bon, inutile de continuer ...
