Somme de variables aléatoires

[invite454ca1e4]

Bonjour,
J'ai eu un mal fou à comprendre le sens du théorème central limite, et je viens de comprendre pourquoi. La raison me parait intéressante et j'aimerais vous la soumettre.
Dans ce théorème, il est question de somme de variables aléatoires. Les variables aléatoires sont des fonctions : leur espace de départ est l'espace probabilisé, en général appelé oméga, et leur ensemble d'arrivée est R (ou N). Or, on sait faire la somme de deux fonctions dès qu'elles ont les mêmes ensembles de départ et d'arrivée et qu'il existe une addition sur ce dernier : f+g est défini par (f+g)(x)=f(x)+g(x).
On s'attend donc à ce que la somme de deux variables aléatoires soit définie de cette manière. Or, si c'était le cas, une somme de plusieurs variables aléatoires qui suivent une loi de Bernoulli serait aussi une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli. Elle ne prendrait que 2 valeurs et le fait de dire qu'elle tend vers une loi normale n'aurait aucun sens.
Ce qui m'étonne c'est que je n'ai trouvé nulle part la définition de la somme de deux variables aléatoires. Comme si ce qu'on entends par là coulait de source, alors que c'est en contradiction avec ce qu'on sait d'une somme de fonctions.

Pour donner un sens au théorème central limite et à tout ce que j'ai pu trouver qui traite de la somme de variables aléatoires, j'ai été obligé d'inventer une définition de cette somme. Voilà ce que j'au trouvé :
Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires définies sur les ensembles oméga1 et oméga2 munis des probabilités p1 et p2, alors, on défini X1+X2 comme une fonction définie sur oméga1 X oméga2, de la façon suivante:
(X1+X2)(a1,a2)=X1(a1)+X2(a2).
Mais puisque X1+X2 est une variable aléatoire et qu'elle est définie sur oméga1Xoméga2, il faut que cet ensemble soit probabilisé. La probabilité p qu'il faut alors mettre sur cet ensemble est définie par :
p(a1,a2)=p1(a1)p2(a2).
Ce qui définit bien une probabilité. De plus, cette définition de la somme de deux v.a. donne un sens au TCL et à tout ce qui traite de somme de variables aléatoires.
Il me semble que tout ceci est sous-entendu dans tous les textes qui traitent de sommes de variables aléatoires, et je n'ai jamais trouvé aucune précisions là-dessus. Je trouve ça très étonnant.
J'aimerais beaucoup avoir vos avis. Merci
Elzeardbouffier.
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[gg0]

Bonjour.

Tu fais une erreur de base : Une somme de variables aléatoires se fait comme d'habitude sur un seul et même espace probabilisé. C'est donc la règle habituelle de la somme des fonctions qui s'applique :


Par exemple si X est le numéro la face supérieure d'un dé (l'espace peut être modélisé par {1,2,3,4,5,6} et on prend l'habituelle équiprobabilité), alors soit Y le numéro de la face cachée. Y est définie sur le même espace probabilisé, et on vérifie que X+Y=7. X+Y est la variable de Dirac égale à 7 (ou variable constante égale à 7).

Ce qui peut te tromper, c'est qu'on parle de répétition d'épreuves, ce qui semble multiplier les espaces probabilisés. prenons le cas de la modélisation d'un jet de dé répété 10 fois et de ce qui est dit sous la forme où X_i est 1 si le 6 sort au i^ème jet. Ici, l'espace probabilisé est , et c'est sur cet espace que sont définis les X_i. De façon assez évidente on ne peut pas considérer l'ordre du jet sans avoir l'ensemble des jets. Mais comme c'est un espace produit, on se contente de travailler, pour une variable seule, comme si c'était un jet d'un seul dé. En utilisant les notations de ces deux derniers paragraphes ou X est la variable du paragraphe précédent.

Cordialement.

[invitee0fcad7a]

J'ai aussi buté sur la non définition de la somme de variables aléatoire et c'est effectivement le produit des Omega qu'il faut prendre.

et gg0 commence par dit que non, puis oui

[gg0]

C'est une mauvaise lecture de ce que j'ai expliqué. Dans les deux cas, la somme se fait comme d'habitude sur le même espace probabilisé. Pas sur un espace produit.

Je reprends mon premier exemple, où il n'y a pas d'espace produit. On appelle X la face supérieure d'un dé parfait dans l'épreuve du jet de dé, donc modélisée dans l'univers des jets de ce dé (*). La loi de X est P(X=i)=1/6 pour tout i de 1 à 6. On appelle Y la face cachée du même dé. La loi de Y est P(Y=i)=1/6 pour tout i de 1 à 6. La variable Z=X+Y est définie elle aussi sur le même espace probabilisé et sa loi est P(Y=7)=1 (**).



Ce qui peut gêner la compréhension, c'est que, la plupart du temps, on utilise les variables aléatoires en "oubliant" l'espace probabilisé qui a servi à le définir : Où que soit tombé le dé, dans le jeu, la seule chose qui nous intéresse c'est sa valeur; en probas, on fait un pas de plus : Sa valeur instantanée ne nous intéresse pas, seule sa loi va servir.

Pour le jet de 10 dés, il faut un espace probabilisé correspondant, et définir des variables aléatoires sur cet espace. Comme il y a indépendance (par hypothèse), l'espace produit est naturel.

Un autre fil sur ce sujet, la fin est très claire.

Cordialement.

(*) on peut prendre et l'habituelle équiprobabilité des 6 chiffres à condition de ne pas confondre ses éléments, les chiffres de 1 à 6, avec les valeurs de X qui sont des réels.
(**) la valeur 7 est un réel qui ne fait évidemment pas partie de puisqu'elle est dans l'espace d'arrivée.

[A voir en vidéo sur Futura]