Equation differentielle

[mona123]

bonjour pouvez vous m'aider a resoudre ce problem
on donne une
Équation de Laplace dans un rectangle
u_xx +u_yy=0
avec les conditions initial
u(x,0)=1_/25 sin (5X),u(x, π)=0 0=<x<= π
u(0,y)=u( π,y)=0 0=<y<= π
on nous a demander
a)de trouver la solution de ce probleme
puis
b)montrer que ∫_S ∇ u · n dS = 0 dans une équation de Laplace où n designe l' unité normale à la frontière et dS est un élément de la longueur de la frontière .est elle une coïncidence?
j'ai pu repondre a la question a)
mais je n'ai pas pu faire la question b)
pouvez vous m'aider s'il vous plait .merci en avance
-----

[Universus]

Bonjour,

Afin que ce message repose sur quelque chose de concret, mentionnons que la solution à la partie a) est .

La partie b) pose deux questions. La première consiste à vérifier que pour la fonction ci-dessus, nous avons bien . La seconde question demande si ce résultat dépend du contexte particulier que nous considérons ici ou si, plus généralement, cette intégrale s'annule pour toute fonction harmonique définie sur le carré .

On peut répondre à la première question par un calcul direct et relativement simple. Pour répondre à la seconde question, le théorème de flux-divergence s'avère utile (en se souvenant que l'opérateur laplacien est la divergence du gradient).

[mona123]

bonjour Universus
oui j'ai trouvé le meme resultat pour la question a) en utilisant la methode de separation de variable
mais j'ai trop reflichit pour le reste du probleme et j'ai rien trouver pouvez vous s'il vous plait m'aider.merci

[azizovsky]

Salut, il faut voir l'analogue de la formule de Geen pour une surface : http://ljk.imag.fr/membres/Emmanuel....mai/outils.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]

[mona123]

bonjour Universus pour la question b) j'ai ecrit
∫_S ∇ u · n dS =∫_SΔ.ΔudS=∫_SΔ(uxx+uyy)dS=0
ma reponse est elle juste ?
merci

[Universus]

Non, ce n'est pas ce que vous avez écrit.

Il faut prendre la première équation ici (avec une intégrale en moins de chaque côté puisqu'on est en dimension 2 et pas 3 ; azizovsky a probablement donné la bonne formule, mais bon le théorème de flux-divergence tient de manière très générale !) à . Le membre de droite est ce que vous recherchez, le membre de gauche est ce qui est facile à évaluer pour une fonction harmonique.

[mona123]

∫S ∇ u · n dS =∫S ΔudS=∫S (uxx+uyy)dS=0?

[Universus]

Exactement !

[mona123]

et concernant la deuscieme partie de la question :" La seconde question demande si ce résultat dépend du contexte particulier que nous considérons ici ou si, plus généralement, cette intégrale s'annule pour toute fonction harmonique définie sur le carré ."
comment repondre a cette question et l'expliquer?merci

[Universus]

Par ce que vous venez de faire !