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Equation differentielle



  1. #1
    mona123

    Equation differentielle


    ------

    bonjour pouvez vous m'aider a resoudre ce problem
    on donne une
    Équation de Laplace dans un rectangle
    uxx +uyy=0
    avec les conditions initial
    u(x,0)=1/25 sin (5X),u(x, π)=0 0=<x<= π
    u(0,y)=u( π,y)=0 0=<y<= π
    on nous a demander
    a)de trouver la solution de ce probleme
    puis
    b)montrer que ∫S ∇ u · n dS = 0 dans une équation de Laplace où n designe l' unité normale à la frontière et dS est un élément de la longueur de la frontière .est elle une coïncidence?
    j'ai pu repondre a la question a)
    mais je n'ai pas pu faire la question b)
    pouvez vous m'aider s'il vous plait .merci en avance

    -----

  2. #2
    Universus

    Re : Equation differentielle

    Bonjour,

    Afin que ce message repose sur quelque chose de concret, mentionnons que la solution à la partie a) est .

    La partie b) pose deux questions. La première consiste à vérifier que pour la fonction ci-dessus, nous avons bien . La seconde question demande si ce résultat dépend du contexte particulier que nous considérons ici ou si, plus généralement, cette intégrale s'annule pour toute fonction harmonique définie sur le carré .

    On peut répondre à la première question par un calcul direct et relativement simple. Pour répondre à la seconde question, le théorème de flux-divergence s'avère utile (en se souvenant que l'opérateur laplacien est la divergence du gradient).

  3. #3
    mona123

    Re : Equation differentielle

    bonjour Universus
    oui j'ai trouvé le meme resultat pour la question a) en utilisant la methode de separation de variable
    mais j'ai trop reflichit pour le reste du probleme et j'ai rien trouver pouvez vous s'il vous plait m'aider.merci

  4. #4
    azizovsky

    Re : Equation differentielle

    Salut, il faut voir l'analogue de la formule de Geen pour une surface : http://ljk.imag.fr/membres/Emmanuel....mai/outils.pdf
    Dernière modification par azizovsky ; 29/04/2015 à 17h39.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mona123

    Re : Equation differentielle

    bonjour Universus pour la question b) j'ai ecrit
    S ∇ u · n dS =∫SΔ.ΔudS=∫SΔ(uxx+uyy)dS=0
    ma reponse est elle juste ?
    merci

  7. #6
    Universus

    Re : Equation differentielle

    Non, ce n'est pas ce que vous avez écrit.

    Il faut prendre la première équation ici (avec une intégrale en moins de chaque côté puisqu'on est en dimension 2 et pas 3 ; azizovsky a probablement donné la bonne formule, mais bon le théorème de flux-divergence tient de manière très générale !) à . Le membre de droite est ce que vous recherchez, le membre de gauche est ce qui est facile à évaluer pour une fonction harmonique.

  8. #7
    mona123

    Re : Equation differentielle

    ∫S ∇ u · n dS =∫S ΔudS=∫S (uxx+uyy)dS=0?

  9. #8
    Universus

    Re : Equation differentielle

    Exactement !

  10. #9
    mona123

    Re : Equation differentielle

    et concernant la deuscieme partie de la question :" La seconde question demande si ce résultat dépend du contexte particulier que nous considérons ici ou si, plus généralement, cette intégrale s'annule pour toute fonction harmonique définie sur le carré ."
    comment repondre a cette question et l'expliquer?merci

  11. #10
    Universus

    Re : Equation differentielle

    Par ce que vous venez de faire !

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