propriétés de fractions

[invitec12706a7]

Bonjour,

J'ai remarqué que lorsque l'on prend l'ensemble F_n des fractions simplifiés à dénominateur plus petit ou égal à une nombre n et que l'on l'ordonne par grandeur, on obtient une suite où chaque fraction (sauf la première et la dernière) est la médiante de celle qui le précède et celle qui le suit

exemple: pour n = 3 on a:

[code:1:d1ec75c156]
1 1 2 1
- - - -
3 2 3 1
[/code:1:d1ec75c156]

et on a 1/2 = (1+2)/(3+3) et 2/3 = (1+1)/(2+1)

Je me demande si c'est vrai pour tout n et si on peut comprendre d'où vient cette propriété.

avis aux amateurs,
-----

[monnoliv]

Pour n=4 ça ne marche déjà plus.
Bàt,

[invitec12706a7]

comment ça:

[code:1:cd39c61afd]
1 1 1 2 3 1
- - - - - -
4 3 2 3 4 1
[/code:1:cd39c61afd]

ça marche ! :P

[invitec12706a7]

j'ai oublié de préciser que les fractions doivent être plus petites que 1, c'est peut-être ça...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite37968ad1]

Voila une observation qui m'a occupé l'esprit pendant 24 heures!!!

Je pense avoir démontré que cette propriété est vraie.

J'ai d'abord observé que, lorsque les fractions irréductibles étaient rangées dans l'ordre, si j'appelle a/b l'une d'entre elle et x/y la suivante alors bx - ay = 1

Dans un premier temps, j'ai admis cette propriété et j'ai alors démontré l'observation de Jedeki:
Si on a trois fractions consécutives
a/b ; x/y ; c/d alors
bx - ay = 1
cy - dx = 1
par soustraction, on a (b+d)x - (a + c)y = 0
ce qui donne x/y = (a+c)/(b+d)

Il reste le plus dur: montrer que si a/b et x/y sont deux fractions irréductibles consécutives alors bx - ay = 1.
Pour ce faire, je vais supposer que bx - ay = k > 1 et je vais montrer qu'il existe une fraction dont le dénominateur est inférieur à sup(b;y) comprise entre les deux précédentes.
Je vais me servir de Bézout:
si a et b sont premiers entre eux, il existe deux entiers s et t tels que :
bs - at = 1 avec t compris entre 1 et b
De plus, les solutions de l'équation bx - ay = k sont les couples de la forme :
x = ks + na
y = kt + nb où n est un entier relatif.

Etape 1:
a et b sont premier entre eux, donc il existe un couple d'entier s et t avec t compris entre 1 et b tel que bs - at = 1
Cherchons si s/t ne serait pas une fraction comprise entre a/b et x/y
a/b < s/t car bs - at = 1 > 0
Vérifions si s/t < x/y c'est à dire si xt - ys > 0
x et y sont solutions de bx - ay = k donc il existe un entier relatif n tel que :
x = ks + na
y = kt + nb
alors xt - ys = kst + nat - kst - nbs = - n(bs - at) = -n
si n = 0 alors x = ks et y = kt impossible car x et y sont premiers entre eux.
Si n < 0 , on peut dire que xt - ys > 0 donc on a :
a/b < s/t < x/y avec t compris entre 1 et b

Etape 2: si n > 0
x et y sont premiers entre eux, donc il existe un couple d'entiers p et q avec q compris entre 1 et y tel que qx - py = 1
Cherchons si p/q ne serait pas une fraction comprise entre a/b et x/y
p/q < x/y car xq - yp = 1 > 0
Vérifions si a/ b < p/q c'est à dire si bp - aq > 0, c'est à dire nbp - naq > 0
s et t sont solutions de l'équation xt - ys = - n donc il existe un entier relatif m tel que
t = -nq + my
s = -np + mx
On peut ainsi observer que m est nécessairement strictement positif.
On a alors
nq = my - t
np = mx - s
nbp - naq = mxb - sb - may + ta = m(xb - ay) - (sb - at) = mk - 1
Comme m > 0, k > 1 alors mk - 1 > 0
Donc, si n > 0, on peut dire que bp - aq > 0 et on a
a/b < p/q < x/y avec q compris entre 1 et y

Je viens donc de prouver que si a/b et x/y sont deux fractions irréductibles telles que bx - ay > 1 alors elles ne sont pas consécutives.
par contraposée: si deux fractions a/b et x/y sont consécutives alors bx - ay = 1

AVERTISSEMENT: je trouve cette démonstration tellement alambiquée qu'elle est peut-être fausse (à lire attentivement) ou bien qu'il y a plus simple (à vos crayons....)

Merci à Jedeki de m'avoir donné une si belle occasion de chercher.

PS : ça marche aussi pour des fractions plus grandes que 1, non?

[invitec12706a7]

Je n'ai pas encore eu le temps de lire ta démonstration, mais l'idée me semble bonne.

PS: je crois bien que ça marche également pour des nombre plus grand que 1

[inviteeecca5b6]

Autre démonstration, plus courte, mais peut etre fausse...
J'ai constaté que les termes au centre ne change pas entre n et n+1, seul 2 termes venaient s'intercaler a gauche et a droite.
Je vais donc procéder a une demonstration par récurence :
Il est déja certain que les 2 termes de gauche pour un n donné sont les 2 plus petits, donc 1/n et 1/(n-1) et que les 2 termes de droites sont forcement (n-1)/n 1/1
En admettant que cette propriété est vrai pour tout n, comment passer a n+1 ?
Tout simplement en ajoutant un terme a gauche 1/(n+1) qui deviens le plus petit, et on remarque que l'ajout de ce nouveau terme conserve la propriété de la suite puisque on a bien (1+1)/(n+1+n-1) = 1/n
A droite, le nouveau plus grand terme (a part 1) devient n/(n+1) qui verifie bien (n-1+1)/(n+1)

Si la suite est verifié pour un n donné, elle est vrai pour n+1...

'oila

[invite37968ad1]

hélas, il n'y pas que deux termes qui s'intercalent
n = 4
1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1
n = 5
1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

[inviteeecca5b6]

Il faut déjà trouver un algorithme simple qui puisse construire la suite pour pouvoir faire une démonstration par récurence...
En voici un : (un peu farfelu mais il marche jusqu'a n=5, j'ai pas testé n=6 mais il faudrait montrer qu'il est vrai pour n+1):
partout depuis n=1, on a:
0/1 1/1
Pour n=2 : 0/1 1/2 1/1
Comment passer de n=1 a n=2 ?
Indicons chaque fraction par un nombre k (k0 correspond a 0/1)
Le passage de n à n+1 peut se faire : (k' est l'indice pour la suite a n+1)
k'0=k0
k'1=k0+k1 (addition (numerateur + numerateur)/(denominateur+ denominateur)
k'2=k1
k'3=k1+k2
k'4=k2
k'5=k2+k3...
D'ou la relation : k'i=k(i/2) si i pair
k'i=k((i-1)/2)+k((i+1)/2) si i impair...
A la fin de la suite, il faut retirer tous les termes dont le dénominateur est superieur a n pour avoir la suite qu'on a construit j'usqu'a maintenant, toutefois il semblerait que la propriete soit conservée si on les conserve !!!

[inviteeecca5b6]

Selon mon algorithme, il est facile de montrer que k'1 k'3 k'5... sont bien la somme (au sens ou on l'a definie) des deux termes autours...
Par contre la demonstration pour k'2 k'4 k'6... se complique...
Quelqu'un a une idée ?

[invitea29d1598]

je n'ai pas lu votre fil en details, mais sauf erreur de ma part, vous devriez etre interesses (enfin, sauf si vous voulez trouver toutes les proprietes par vous-memes ) par la lecture d'une annexe mathematique du livre "La saga des calendriers" par Lefort paru chez Belin. La suite des suites ordonnees de fractions irreductibles comprises en 0 et 1 porte en effet un nom dont je ne me rappelle plus, mais c'est un sujet aborde dans cet appendice. Je dois d'ailleurs avouer avoir egalement oublie dans quel cadre precis cela intervenait (des histoires de comparaisons de differents calendriers je crois)...

[invite37968ad1]

Bonjour,

j'ai déjà l'impression que tu laisse de côté une démonstration pas évidente: valider ton algorithme de construction. Si en plus, cela t'aide peu pour ta dém, je n'ai pas trop envie de chercher....

mais si cela tente quelqu'un...

[invitec12706a7]

juste une note historique de 3 secondes: il s'agit des fractions de Farey

[invite37968ad1]

Un site parmi mes favoris que j'aurais du consulter avant de tenter de répondre:

http://membres.lycos.fr/villemingera...e/SuiFarey.htm