limite

[invite936a40b7]

Salut tuot le monde,
je recherche la limite de (a^x -b^x)/x quant x tend vers le 0.
merci.
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[pallas]

peux tu préciser les domaines da a et de b . Sont ils positifs . a< ou > à b. x tend -il vers O par valeurs inf ou sup!!
a +

[invite37968ad1]

Les precisions demandées sont inutiles: la fonction g_a définie sur R par g_a(x) = a^x n'existe que pour a > 0

Comme (a^x - b^x)/x = (g_a(x) - g_a(0))/x - (g_b(x) - g_b(0))/x
sa limite en 0 est g'_a(0) - g'_b(0) = ln(a) - ln(b)

[pallas]

Curieux a raison
Autre démonstration possible : sachant que (ii) lim[(e(x) -1)/x] quand x tend vers zéro = 1 ( définition de f'(o) pour la fonction exponentielle (x associe e(x))
et que a (exposant x) = e(xlna)
on ecrit la limite [(e(xlna)-1)-(e(xlnb) -1)]/x soit encore
[(e(xlna) -1)*lna]/x*lna +[ (e(xlnb) -1)*lnb]/(x*lnb) et on applique (ii) pour trouver ln a - lnb soit (ln(a/b))
a+

[A voir en vidéo sur Futura]