Série cos

[invite6ab7b7b1]

Bonjour à vous !
Je cherche à determiner la nature de la série suivante :

avec

Mais je ne vois absolument pas par où commencer :/

Merci d'avance,
Pixin
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[invite6ab7b7b1]

Petite avancée, je viens de montrer que la série divergeait grossièrement si !

[invite7c2548ec]

Bonjour :

A mon avis si on suppose que alors maintenant il faut chercher pour quelle valeurs de la serie converge ? est de nature .... si .... et diverge pour ....

Cordialement

[invite6ab7b7b1]

Ben on pourrait voir cela comme une suite géométrique de raison <1, donc elle convergerait automatiquement. Le problème c'est que la raison n'est pas constante, ce n'est donc pas une série géométrique et cela entrerait finalement en contradiction avec la divergence grossière démontrée précedemment. De plus, on ne peut pas majorer le terme général de la série car il tend vers 1...

Merci,
Pixin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c2548ec]

Bonjour :

Ben on pourrait voir cela comme une suite géométrique de raison <1, donc elle convergerait automatiquement.

Non justement elle peut converge que dans un intervalle bien précis a vous de le trouver (je pense );

Cordialement

[invite6ab7b7b1]

Après un développement limité, on trouve un équivalent du terme général (appelons-le Un dans la suite)

Cela valide donc les divergences grossières trouvées précédemment, mais cela ne m'aide toujours pas à traiter les cas de alpha<1/2
Cependant, des simulations informatiques me montrent que la série converge pour des alphas petits, mais je ne trouve pas à partir de quand, et je n'ai aucune idée du point de départ à utiliser :/

[invitea7f063b2]

Bonjour,
je ne suis pas sure de moi mais pourquoi ne pas utiliser tout simplement le critère de Cauchy ?

[invite6ab7b7b1]

Hum, malheureusement, nous n'avons pas vu ce qu'est le critère de Cauchy

[invitea7f063b2]

en gros :
soit une série de terme général Un
si la limite de Un^(1/n) <1 alors la série converge et si >1 diverge

[invite7c2548ec]

Bon l'étude de convergence nécessite plusieurs critère Cauchy comme la dit january D’Alembert, ...etc .

Quelle est votre niveaux d'étude Pixin ?

Cordialement

[invite6ab7b7b1]

Je suis actuellement en MPSI, et nous terminons le chapitre sur les séries numériques.
J'ai calculé très rapidement le quotient et j'obtiens Cela permettrai de conclure pour mais pas pour les cas restants
Pensez vous que je me sois trompé dans mon calcul de quotient, ou est-ce normal ?

Merci encore,
Pixin

[gg0]

Bonjour.

Tu peux remarquer que pour n suffisamment grand, c'est une série à termes positifs, et prendre un équivalent de ton terme général . En l'écrivant , tu es ramené à chercher un équivalent de

Cordialement.

[invite6ab7b7b1]

J'obtiens comme équivalent de mon terme général
Mais je dois encore avouer que je n'arrive pas à conclure pour

Finalement il me reste à étudier les séries ayant un terme général du type , et plus particulièrement avec
Merci

[gg0]

Attention au cas particulier

[invite6ab7b7b1]

Oui, la série diverge dans ce ca, je l'ai traité à part, mais je n'arrive pas à conclure pour le reste des cas :/

[invite7c2548ec]

Bonjour :

J'aimerai bien savoir comment vous avez réussis à obtenir cette équivalent ?

Cordialement

[invite6ab7b7b1]

J'ai composé par exponentielle en esperant que ça marchait dans ce cas là, mais en effet, après vérification, ça ne marche pas.

J'écris donc et je cherche un équivalent de



Encore une fois, on voit la divergence pour mais je n'ai pas d'idée pour conclure sinon.

Encore merci à vous

[gg0]

Dans ce cas, V_n ne tend pas vers 0, donc en posant tu as

Et tu peux étudier la série de terme général exp(W_n) par le critère de D'alembert.
Je l'ai mise sous la forme avec et j'ai factorisé dans pour pouvoir utiliser un équivalent classique.

Cordialement.

[invite6ab7b7b1]

En faisant cela on obtient
Donc
Or d'où
On est donc dans le cas de D'Alembert où l'on ne peut pas conclure non ?

[gg0]

Tu as raison,

j'ai regardé rapidement, j'aurais dû rédiger. Connais-tu la forme du critère avec la lim sup ?
Sinon, il me semble que le critère de Cauchy (*) permet de conclure.

Cordialement.

(*) avec la limite de

[invite6ab7b7b1]

Je ne connais malheureusement ni le critère de la limite sup, ni le critère de Cauchy
Pensez-vous que l'on peut éventuellement essayer de le comparer à une intégrale ?

Merci

[gg0]

Ben .. as-tu essayé ?

[invite6ab7b7b1]

L'intégrale est bien trop compliquée finalement

[gg0]

Celle de ?

[invite6ab7b7b1]

Non, celle de

[gg0]

J'oublie toujours que le n est en exposant ...

[invite6ab7b7b1]

Ahah, la vie serait bien plus facile sans cela :')

[invite7c2548ec]

Bonjour:

Salut Pixin est ce que cette exercice figure dans la séries des exercices donner par le charger des TD (Travaux Diriger) , ou alors une aventure de votre part pour une solution de ce problèmes ?


Cordialement

[invite6ab7b7b1]

C'est un peu des deux, c'est un exercice figurant sur la fiche de TD, mais répertorié comme Bonus (comprendre Facultatif), pourquoi ?

Cordialement

[invite7c2548ec]

Bonjour:

C'est un peu des deux, c'est un exercice figurant sur la fiche de TD, mais répertorié comme Bonus (comprendre Facultatif), pourquoi ?

Cordialement

Salut Pixin l’étude de convergence des série nécessite l’étude détailler de plusieurs de plusieurs critères de d’Alembert , de Cauchy , de Comparaison voir même Règle de Raabe-Duhamel ...parmi d'autre critère y' a des moments ou des séries n'obéis à aucun critère , a ce cas en utilise des moyens plus sophistiquer cela explique l'intéré que vous porté vis avis de cette Discipline peut être et en espère une solution ici dans un bref délai .Bon courage et réussite dans vos étude .


Amicalement topmath .