Bonjour à tous,
J'ai eu un partiel concernant les distributions, l'exercice suivant m'a posé particulièrement problème ( pour ne pas dire que je n'ai pas réussis à l'entamer ).
J'aimerai avoir de l'aide pour résoudre ce mystère.
Amis Matheux à l'aide
Bonjour.
Question 1 : appliquer la définition. On obtient une série dont la plupart des termes sont nuls. Examiner ce qui se passe sur le support de la fonction test.
Question 2 : La distribution de Dirac est une dérivée classique.
Cordialement.
Je vois pas trop ce dont vous voulez parler...
Ben ... puisqu'il faut tout expliquer :
Tu as dans ton exercice la définition de "périodique" pour une distribution. On te demande de vérifier qu'une distribution donnée est périodique, tu lui applique la condition de la définition.
Mais j'ai l'impression d'enfoncer des portes ouvertes ...
C'est ton exercice, c'est à toi de le faire. Comme on te dit ce qu'il faut faire, fais-le ...
Je ne vois que deux raisons qui pourraient faire que tu n'y arrives pas
* tu n'as jamais vu ce qu'est une distribution, autrement dit tu as zappé le cours, mais tu prétends savoir faire quand même
* tu attends qu'on fasse à ta place (contraire aux règles du forum)
Dans les deux cas, il est facile de rectifier ....
Merci pour la touche d'humour matinale.
Bref, merci d'avoir essayé.
Bonne journée
Très sérieusement,
si tu as commencé et ne sais pas comment continuer, on peut t'aider si tu écris ici ce que tu as fait. S'il y a des choses que tu ne comprends pas dans les notations de l'énoncé, on peut t'aider à les comprendre.
Très bien,
Pour la question 1, j'ai appliqué la définition et j'ai fait un changement de variable qui m'a permis de retrouver ma distribution initiale. Par contre je n'ai aucun terme qui se simplifient. Est-ce correct?
Pour la question 2, je ne comprends pas la question. Pourriez-vous me donner des étapes de résolution? Dans mon cours je n'ai aucun exemple de dérivée seconde.
Pour la première question, la distribution proposée existe parce que tout les diracs de la somme situés en dehors du support dedonnent le résultat 0. J'ai réalisé à la suite de ton message que si on accepte que les séries qu'on écrit converge, cette remarque n'a aucune importance. mais évidemment, utiliser une série sans savoir si elle converge est dangereux.
Si on laisse ça de côté, effectivement, le calcul est immédiat.
Pour la deuxième question, tu as besoin de primitiver deux fois. Et tu as des diracs. Comme on pourra utiliser la périodicité, plaçons nous sur la période centrée en 0. Il y a deux diracs, qui sont des dérivées (au sens des distributions) de fonctions de Heaviside, elles mêmes dérivées sauf en un point de fonctions continues (donc au sens des distributions, pas de problème). Je te laisse finir.
Cordialement.
Si l'on prend k = 0 , période centrée en 0, on obtient une fonction un peu plus simple à étudier. J'ai donc intégré deux fois cette fonction en question mais j'ai un doute.
Et à la fin, qu'advient-il de k ?
Je ne comprends pas tout de ton calcul. Par exemple, que sont de venus les C1 et C2 (qui forment une seule constante - de même, une seule deuxième constante K suffit).
Tu as ta fonction sur [-1,5;1,5], reste plus qu'à périodiser (reproduire sur les autres périodes, et choisir les valeurs de C et K pour que ça fasse une fonction qui par dérivation redonne la fonction d'origine. Donc on ne doit pas avoir de discontinuité de sa dérivée en 1,5 (ni en -1,5, mais si on règle le problème en 1,5, par périodicité il le sera en -1,5).
Bon travail !
A noter :
Une primitive de U(x) (fonction de Heaviside) est xU(x). Par décalage, on voit que les primitives de U(x-a) sont (x-a)U(x-a) à une constante près.
Je pensais qu'intégrer les deux fonction de Heaviside engendrerais 2 nouvelles constantes.
Du coup j'ai réessayé, et j'ai trouvé une fonction F(x) qui, lorsque l'on dérive 2 fois celle-ci (pour un k donné) on retombe sur la bonne.
Mais je sais pas si c'est très "scientifique" de rajouter (comme une fleur) la somme sur k à la fin aha
Tu trafiques encore les calculs.
ta fonction F n'a pas pour dérivée G, puisque la dérivée de x est 1, pas C.
Donc tu dois avoir un Cx dans F(x). Et tu en as bien besoin car, si tu veux que ta fonction soit continue et périodique, de période 3, il va bien falloir avoir F(-1,5)=F(1,5).
Autre problème : le calcul de K est faux, car
Cordialement.
En effetEnvoyé par gg0
Tu trafiques encore les calculs.
ta fonction F n'a pas pour dérivée G, puisque la dérivée de x est 1, pas C.
Donc tu dois avoir un Cx dans F(x). Et tu en as bien besoin car, si tu veux que ta fonction soit continue et périodique, de période 3, il va bien falloir avoir F(-1,5)=F(1,5).
Autre problème : le calcul de K est faux, car
Cordialement.
D'autre part je me retrouve donc avec un terme en "Cx" dont je doit calculer la constante C afin d'avoir F(x)=F(x+3)
Si ma fonction F(x) est juste la relation de périodicité ci-dessus doit être vraie quelque soit x.
Si l'on effectue le calcul de F(-1,5) = F(1,5) on trouve : -1,5C - 3 = 1,5C + 3 ainsi C = -2 mais cette valeur de C n'est pas valable pour tout F(x+3) = F(x) , est-ce parce que l'on a pris k = 0 au début de l'exercice ?
Y a vite moyen de s'embrouiller avec cette sommation sur k.
Bonjour.
Je te rappelle que tu avais restreint le domaine d'étude de ta fonction à une période, centrée en 0, donc sur [-1,5;1,5] (*). Comme tu veux une fonction périodique, il suffit de périodiser la fonction que tu as définie sur [-1,5;1,5].
Rappel : Si on a défini une fonction f sur un intervalle [a,a+T[, on peut définir une fonction périodique F qui est égale à f sur cet intervalle et de période T en posant F(x)=f(x+k(x)T) où k(x) est le seul entier tel que x+k(x)T soit dans [a,a+T[.
Il existe des façons de présenter F comme une série utilisant f; si tu en as besoin, je t'aidera pour ton cas.
Cordialement.
(*) C'est pourquoi j'ai proposé F(-1,5) = F(1,5), puisque sur cet intervalle, ce sont les seules valeurs distantes de 3.
