Salut,
La fonction x --> exp(x) réalise une bijection de IR dans IR+* car elle est continue et strictement croissante sur IR.
Mais IR+* est strictement inclus dans IR donc IR+* contient moins de réels que IR, alors comment est il possible de créer une bijection entre eux ??
OuiEnvoyé par SSTN
Comment définissez-vous le "nombre d'éléments" d'un ensemble ?
L'exponentielle fait cela très bien (et il y en a bien d'autres, par exemple la fonction définie par f(x) = -1/x pour x <-1 et f(x) = x+2 si x >= -1)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
et bien à l'aide de la fonction exponentielle, pardi! Puisque tu as une bijection "devant les yeux" pourquoi demander si c'est possible ou pas? Ce n'est pas comme dans le cas du paradoxe de Banach-Tarski où on démontre l'existence d'une certaine partition mais qu'on ne peut pas l'exhiber. Ici tu n'as qu'à vérifier que la fonction exponentielle est bien injective et que chaque réel positif est bien l'exponentielle d'un autre réel.
@Mediat, j'ai définis le nombre total des éléments par l'inclusion (Un point de vue ensembliste)
@minushaben, je sais, mais ça mérite une explication comme meme non ??
Il est très classique qu'il y a une bijection entre l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des entiers naturels pairs. Elle s'écrit
n --> 2n
Et pourtant, en ton sens, il y a plus d'entiers que d'entiers pairs.
Que tu le veuilles ou non, c'est comme ça que ça se passe pour les ensembles infinis : Ils sont tous en bijection avec une de leurs parties strictes. C'est d'ailleurs une définition possible de "ensemble infini".
Cordialement.
Cela ne définit pas un "Nombre d'éléments". Vous pouvez regarder là : http://forums.futura-sciences.com/ma...-ensemble.html
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci, la réponse de g²0 m'a convaincu!
Dans le même genre, il y a la fonction tangente qui définit une bijection entreet
If your method does not solve the problem, change the problem.
