Bloqué sur équation paramétrique

[invite05e2bd7b]

Bonjour,
Voilà 3 jours que je suis bloqué sur une équation que je ne parviens pas à résoudre ....
Je suis sur que la solution est tout bète et que certains d'entre vous vont la voir quasi immédiatement.

J'ai l'équation d'une ellipse orientée : X = x0 + a*cos(t)*cos(theta) - b*sin(t)*sin(theta) . J'ai tous les parametres, x0,teta,a et b et je souhaite retrouver la valeur de cos(t) ou t. Ce qui me bloque c'est la présence du sin(t). Lorsqu'un point est sur l'ellipse il n'y a que deux solutions à l'équation. Pouvez vous m'éclairer sur la méthode à suivre ? J'ai rempli des pages de calcul pour rien pour le moment...

Merci !
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[Rizmoth]

Bonjour.

Je me trompe peut-être mais...
est-ce normal que tu n'aies qu'une seule équation : X = x0 + a*cos(t)*cos(theta) - b*sin(t)*sin(theta) ?
Quid de Y(t) ?

Par ailleurs, tu dis vouloir retrouver la valeur de t. Mais t est un paramètre, il n'est pas fixé, mais chacune des valeurs qu'il prend représente un point de l'ellipse. Tu cherches donc à déterminer un point de l'ellipse ?

Cordialement,
Rizmoth.

[invite05e2bd7b]

Bonjour Rizmoth et merci pour ton temps. Effectivement, il y a l'équation qui me permet de calculer Y. Seulement je souhaite retrouver t ou cos(t) en fonction de X ou Y seulement. (Avec X et Y c'est assez facile par substitution mais il devrait être possible de le déduire seulement avec X).
Chacune des valeur de t représente un point de l'ellipse. Sur un seul Axe, chacune des valeur de t déterminera une position sur X entre x min et x max. Le point de l'ellipse, je l'ai avec ses coordonnées, ce que j'essaie de déterminer, c'est pour un X donné, quelle est la valeur de t correspondante.
J'espère être assez clair ..
William.

[Médiat]

Bonjour,

Votre équation est de la forme qui peut s'écrire

En posant et tout devient simple ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite05e2bd7b]

Merci mediat ! Juste une précision, le alpha et beta correspondent à a et b ?
Pour le moment intuitivement, j'avais posé :

lim_d = x0 + a*(-1)*cos(teta) - b*(0)*sin(teta) ;
lim_u = x0 + a*(1)*cos(teta) - b*(0)*sin(teta) ;

avec ((x-x0)/(x0-lim_d)) sencé représenté cos(t). J'imagine que ce n'est pas très rigoureux ?! Je vais tester votre méthode, juste besoin d'une petite explication.
Merci encore !

[Médiat]

J'ai rectifié une erreur dans mon message précédent !

[gg0]

Willi4m :

"le alpha et beta correspondent à a et b ? " c'est évident que non, cos(t) n'est pas multiplié que par a.

[invite05e2bd7b]

Bonsoir, bien vu pour a et b, je me suis rendu compte juste après avoir posé la question ...
J'ai essayé votre méthode médiat, mais sans succès. Sans doute qu'elle fait appel à une notion mathématique que je n'ai pas. Pourtant vous dites qu'une fois cette équation posée, tout parait simple.

Pourriez vous m'expliquer, ou tout du moins me mettre sur la voie ?
pour moi alpha² + beta² donne toujours 1. mais j'imagine que cette construction est censé me permettre de résoudre l'équation, seulement je ne comprend pas comment ...
Merci encore.

[Médiat]

Bonjour,

pour moi alpha² + beta² donne toujours 1. mais j'imagine que cette construction est censé me permettre de résoudre l'équation,

C'est plutôt ; dans ce cas il existe tel que et

[gg0]

Bonjou


Donc

qui n'a pas de raison de valoir 1.

Cordialement.

[invite05e2bd7b]

Ok, merci à vous deux pour la correction. Une fois que je me retrouve avec ces termes, c'est de la résolution d'équation "normale" ? J'ai beau les tourner dans tous les sens, je n'arrive pas à extraire cos(t) ou t. Est-ce qu'il y a une notion mathématique particulière à utiliser ? (equa diff, ou ce genre de chose, je ne connais pas encore).

[gg0]

L'équation

n'a pas de solution si B<-1 ou B>1, et si , donc s'il existe C tel que (*) on a deux séries de solutions :


comme on le voit sur le cercle trigonométrique.

Cordialement.

(*) On peut prendre si B n'est pas un cosinus connu.

[invite05e2bd7b]

Merci gg0, je vais réfléchir à votre indice pour tenter de comprendre comment il peut m'aider. Les mathématiques sont parfois très obscures pour moi, mais sachez que je met toute mon énergie pour passer ces barrières psychologiques (physiques ? ).

Entre le temps de mon dernier message et la découverte du votre, je pense avoir progressé.

J'ai posé t = tan(a/2) (Prête à confusion, mais ce t n'est pas le même que l'autre, au dessus).
Ensuite : cos(a) = (1-t²)/(1+t²), et sin(a) = 2t(1+t²).
J'ai ensuite pris alpha = cos(theta)*a (Pas le même "a" qu'au dessus, vous l'aurez compris), et beta = -sin(theta)*b.

Ensuite, j'ai pris c = -(X-X0), et réécrit l'équation de la manière suivante :
(1-t²)/(1+t²)* alpha + 2*t/(1+t²) * beta + c = 0. Si je n'ai pas été trop maladroit ensuite, cela donne (c-alpha)*t² + 2*Beta*t + c+alpha = 0, Ce qui me donne une équation du deuxième degré que je peux résoudre avec les outils que je connais.

Maintenant que j'écris ces lignes, je me dis que votre astuce me permet de faire un remplacement similaire, sans passer par la tangente (ce qui m'obligerait sans doute à déterminer par la suite dans quel "cadrant" je me trouve).

Suis-je selon vous une fois de plus "dans les choux" ? (Fichtre...)

Merci encore pour le temps consacré à mon problème. J'essaie en fait d'écrire un programme qui me permet de valider la présence d'une ellipse tracée dans le ciel par un astre (lunette + webcam), après avoir détecter des ellipses potentielles parmi des séries de points, je les compare aux ellipses tracées avec les paramètres détectés, sans pour autant avoir à tracer l'ellipse entièrement (ce qui reviendrai systématiquement à comparer n² points, ralentissant cruellement mon algorithme).

[gg0]

Si on élimine les mélanges de lettres, tu peux effectivement t'en sortir. Mais avec le risque que la tangente peut ne pas exister.

[invite05e2bd7b]

Merci ! Est-ce que votre méthode, ou celle suggérée plus haut est plus simple ou plus efficace ?
J'aimerai tout de même la comprendre !

[gg0]

Ben .. Une fois l'équation mise sous la forme cos(A)=B, on obtient les deux solutions t à 2 pi près.

Comme je ne sais pas ce que tu as fait des propositions de Médiat, je ne sais pas quoi te dire ...