Equation paramétrique

[invitee330a48f]

Bonjour, j'aimerais savoir comment trouver une équation paramétrique?

Merci d'avance
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[doul11]

bonsoir,

oui, mais une équation de quoi ?

un exemple simple :

x=cos(t)
y=sin(t)

on fait varier t de 0 a 2pi, ça fait un cercle.

[invitee330a48f]

Une équation paramétrique d'un vecteur vitesse, et d'un vecteur OM. Sachant que O est l'origine d'un repère xOy, dont est lancé une particule M de masse m à une vitesse initiale (vect)Vo à partir de l'origine.
Préalablement j'ai trouvé le PFD du point M.

[invitee330a48f]

Par contre je me suis trompé ce n'est pas l'équation paramétrique mais les coordonnées paramétriques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5a685214]

Tu trouves l'accélération et tu intègre deux fois.

[Bruno]

Salut,

Si on note ton vecteur vitesse initiale et qu'il n'y a aucune accélération due à la pesanteur ou au frottement, alors la vitesse de ton point reste constante et ses équations paramétriques sont :



Pour la position, il suffit d'intégrer chaque composante par rapport au temps.

[invitee330a48f]

Si il y a bien une force de gravitation qui s'exerce sur la particule M.

Simontheb, qu'entends-tu par :

Tu trouves l'accélération

[Bruno]

Avec la gravitation, tu as l'accélération g qui s'exerce dans le sens opposé des y, càd : . En paramétriques ça donne :



Pour trouver les composantes de la vitesse, il faut les intégrer par rapport au temps :



Où et sont les composantes de la vitesse au temps t=0.

Pour la position, il faut de nouveau intégrer par rapport au temps :



Où est la position de ta particule au temps t=0.

Pour voir ce que ça donne en partant de (0,0), avec g=9,81 et une vitesse initiale (2,3) : http://www.wolframalpha.com/input/?i...t)+from+0+to+1

[invitee330a48f]

Ah d'accord! Merci =D mais on ne doit pas utiliser les valeur des angles aussi dans les coordonnées paramétriques? J'ai oublié de préciser qu'il y a un angla alpha = ( Vo;Ox ) =S

[Bruno]

Tu peux facilement trouver l'angle à partir de cette relation : . Ça se voit tout de suite en faisant un dessin.

[invitee330a48f]

Merci =)
Dans la suite de l'exercice on me demande de trouver l'abscisse x_B lorsque M rejoint l'axe Ox, sachant que j'ai déjà trouvé l'équation de la courbe que décrit la particule M.
Mais pour trouver M, on peut dire qu'il faut que x_B soit égal à 0 ou bien rigoureusement on n'a pas le droit de dire ça car on cherche l'abscisse pour laquelle x_B "rejoint" l'abscisse?
Corrigez moi si je me trompe =I

[invitee330a48f]

A la suite, il y a une ligne de calcul que je ne comprends pas c'est :
-1/2.g.(x_B²/v₀².cos²(alpha)) + tan(alpha).x_B = 0
<=>
-1/2.g.(x_B/v₀².cos²(alpha)) + tan(alpha) = 0
<=>
x_B = (v₀²/g).sin2(alpha)

En fait je sais qu'on a d'abord diviser les 2 termes qui s'additionnent par x_B pour la première ligne mais après je ne vois pas du tout comment on a pu isoler x_B =S

[invitee330a48f]

C'est bon j'ai trouvé! C'était tout simple ^.^'
Par contre si quelqu'un pouvait me dire comment on passe de ce calcul :
y = (-gx² / v₀²) + x
à :
dy/dt = -2gx/v₀ + 1

Je sais qu'on dérive mais je n'arrive pas à retrouver ce résultat...
Moi je trouve :
dy/dt = -2gx.v₀² + gx².2v₀ / v₀⁴

Me serais-je trompé quelque part? =S

[invite5a685214]

Ne serait-ce pas plutôt dy/dx?

Dans ce cas on aurait
Vo et g étant des constantes. Il s'agit d'un simple polynôme du second degré et tu dérives en x:

[invitee330a48f]

Oui pardon je me suis trompé c'était dy/dx, et ah d'accord! J'avais pas fait attention au fait qu'on les considérait comme des constantes.
En fait ce calcul permet de trouver le sommet S de la trajectoire, mais pourrais-tu m'expliquer pourquoi il faut passer par la dérivée de la fonction y pour avoir les coordonnées du sommet de la trajectoire?

[invite60be3959]

Oui pardon je me suis trompé c'était dy/dx, et ah d'accord! J'avais pas fait attention au fait qu'on les considérait comme des constantes.
En fait ce calcul permet de trouver le sommet S de la trajectoire, mais pourrais-tu m'expliquer pourquoi il faut passer par la dérivée de la fonction y pour avoir les coordonnées du sommet de la trajectoire?

Car lorsque l'objet est au sommet de sa trajectoire, le vitesse selon 'y' est nulle (il ne monte ni ne descend). Comme la vitesse c'est la dérivée de la position, dy/dt = 0.

[invitee330a48f]

Effectivement, je n'y avais pas pensé, merci =)

[Bruno]

Remarque qu'on peut écrire :

.

Donc annuler dy/dt revient à annuler dy/dx.

[invitee330a48f]

Donc tu veux dire qu'on peut démontrer que dy/dt est nul pour avoir les coordonnées du sommet?

[Bruno]

C'est ça. En fait, tu te fiches de la dérivée de x(t). Ce que tu cherches c'est un sommet, càd le maximum de y(t).

[invitee330a48f]

Ah d'accord =) mais bon c'est plus une question pratique qu'on a fait dy/dx, avec les autres questions précédentes

[Bruno]

Ah d'accord =) mais bon c'est plus une question pratique qu'on a fait dy/dx, avec les autres questions précédentes

Oui, mais en paramétriques tu es obligé de faire (dy/dt)/(dx/dt) pour arriver à dy/dx et finalement n'annuler que le numérateur (càd dy/dt). C'est une perte de temps et il n'est pas toujours possible d'exprimer t en fonction de x pour le réinjecter dans y(t) et faire ta dérivée dy/dx.