Intégrale de Lebesgue / Statistique complète

[invite2ea52d3d]

Bonjour,

voici mes données :

iid



J'ai besoin de trouver une statistique exhaustive et complète de .
Avec le théorème de Neyman (Théorème de factorisation), je montre que :

est une statistique exhaustive pour , si je ne me trompe pas.

Mais pour montrer qu'elle est complète, je dois montrer que pour une fonction : implique que

Comment faire pour montrer cette implication?
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[invite9dc7b526]

Tiens, j'aurais plutôt considéré min(Xi)

[invite2ea52d3d]

Pourquoi donc ?
et le sigma des (-Xi) j'en fais quoi du coup?

[gg0]

Bonjour Kapial.

Tu voulais en faire quoi de ton ? Qui s'éloigne de quand n augmente.

Si j'ai bien compris, tu cherches une statistique qui puisse te permettre d'estimer . Si par exemple , la loi de ta variable montre que l'on a systématiquement , donc . Pour n=100, tu trouves un nombre nettement inférieur à 200.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ea52d3d]

Très bien merci, je comprends que je n'ai pas choisi la bonne statistique.
Pour le calcul de la fonction de la vraisemblance voici ce que j'obtiens :


Si je choisis donc le min(Xi) comme statistique exhaustive, il me restera quand même un terme qui dépend à la fois de x et de ce qui ne correspond pas vraiment au théorème de Fisher-Neyman qui veut que je prenne ce terme là comme statistique exhaustive...

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas : Il n'y a pas de x.

Je ne suis pas du tout spécialiste de ce genre de question, l'ayant regardée de loin pour avoir un background en statistique. Mais si ça te permet de progresser, je veux bien servir de sparing partner, être l'ingénu. mais il va falloir m'expliquer ce que tu fais.

Cordialement.

[invite2ea52d3d]

Pas de soucis !

Alors le théorème de Neyman veut qu'on décompose la fonction de vraisemblance en deux fonctions et tel que
Il faut donc que j'identifie ces deux fonctions après le calcul de la fonction de vraisemblance.
Si je choisis alors c'est soi-disant la statistique exhaustive,
mais dans ce cas alors que cette fonction ne devrait dépendre que de et pas de !

[gg0]

Tu parles de

qui ne dépend pas de x. Donc un premier problème. Deuxième problème, que signifie cette notation ? Dépend-elle du choix de l'estimateur ou pas ?

Cordialement.

NB : pour l'instant, je fais l'ingénu, si on n'aboutit pas, j'irai potasser quelques documents.

[invite2ea52d3d]

je ne vois pas en quoi ça ne dépend pas de x.

C'est à partir de cette notation avec les fonctions g et h qu'on détermine l'estimateur justement.

[gg0]

Ok,

je commence à comprendre les notations.

Alors il y a un problème quand tu dis : Si je choisis . En effet, tu ne choisis pas le minimum parmi les , mais seulement le minimum parmi ceux qui sont supérieurs à ; et justement, on cherche . Et si on a choisi le min, c'est justement parce que on sait que toutes les valeurs sont supérieures à .

Quant à ton problème de ne pas mettre dans , c'est facile à résoudre avec les propriétés de l'exponentielle.

mais je n'ai toujours pas compris quelle est ta fonction de vraisemblance. D'après ton message #7, ce serait le min multiplié par une exponentielle ?

Cordialement.

[invite9dc7b526]

Par définition Xi est nécessairement supérieur à theta. D'ailleurs quand on traite ce problème on retourne la fonction 1[theta,infini)(x) en 1[0,x](theta)

[invite2ea52d3d]

La fonction de vraisemblance est : , c'est bien le min multiplié par l'exponentielle.
Alors si je comprends bien, c'est le min que je dois prendre comme statistique exhaustive ?

Dans ce cas il suit la même loi que tous les X et donc a la même densité non?

[gg0]

"c'est bien le min multiplié par l'exponentielle" ??? Je ne vois pas le min ni qui est l'exponentielle.
Ce que tu as écrit est bien la vraisemblance de l'échantillon. Mais ça ne dit rien de la statistique ...

Pour traiter ta statistique (le min), il faut avoir la loi de probabilité de cette statistique en fonction de thêta. C'est cette loi (densité) qu'on va écrire f(t)= g(t,thêta).h(x) pour montrer qu'elle est exhaustive.

J'ai dû ressortir mes bouquins pour comprendre ce qu'il se passe. Et calculer la vraisemblance de x ce qui m'a permis de comprendre pourquoi tu avais pris la somme des x_i (avec une erreur de signe ?)

[invite2ea52d3d]

La fonction de vraisemblance calculée est :

Je crois qu'on arrive bien repérer le min et l'exponentielle et c'est donc la fonction de vraisemblance qu'on doit écrire en fonction de g(x,thêta).h(x) pour repérer la statistique. C'est la somme des Xi (en positif donc) que je dois considérer comme statistique ou le min des Xi > theta ?

[gg0]

Tu parles de la vraisemblance de l'échantillon ? Dans ce cas, je suis d'accord avec toi. Tu peux d'ailleurs simplifier agréablement l'exposant de e et même faire apparaître la moyenne des xk.

Mais ça ne donne pas une statistique. As-tu dans ton cours des méthodes pour faire apparaître des statistiques à partir de la vraisemblance donnée par l'échantillon ?

[invite2ea52d3d]

"simplifier agréablement l'exposant de e et même faire apparaître la moyenne des xk" correspond à ça :
?

Alors par exemple pour une loi normale de paramètre , la fonction de vraisemblance est :
.

On décompose la fonction de vraisemblance en deux fonctions g(t(x),m,sigma^2).h(x) en affirmant que g est de la forme et avec le théorème de Neyman, le couple : est une statistique exhaustive pour (m,sigma^2)

[gg0]

1) Ton calcul est grossièrement faux

Donc pas de - devant thêta, mais un n !!
2) "en affirmant que g est de la forme ..." la suite n'a pas de sens, puisque ce n'est pas une fonction.
3) Je ne connais pas le théorème de Nymann

En tout cas, tu peux difficilement reproduire sur une loi aussi délicate que celle-ci ce qui est simple pour la loi Normale (qui rend simple tellement de situations !)

Cordialement.