3 équations du second degrés et 3 inconnues

[inviteb6b93040]

Bonjour,

Points d'une sphère de rayon r
x²+y²+z²=r²
équidistants
L=corde d'un coté d'un triangle sphérique
(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²=L²
2 triangles partages un segment
(x1-x3)²+(y1-y3)²+(z1-z3)²=L²
(x2-x3)²+(y2-y3)²+(z2-z3)²=L²
On part d'un segment connu
n = 2 * pi * r / L
da = 2 * pi / n
x1 = r * Sin(0)
y1 = r * Cos(0)
x2 = r * Sin(da)
y2 = r * Cos(da)

On a donc 3 équations et 3 inconnue (x3,y3,z3)
x3²+y3²+z3²=r²
(x1-x3)²+(y1-y3)²+(z1-z3)²=L²
(x2-x3)²+(y2-y3)²+(z2-z3)²=L²
x1²+z1²+y1²-2*x1*x3+x3²-2*y1*y3+y3²-2*z1*z3+z3² = x2²+y2²+z2²-2*x2*x3+x3²-2*y2*y3+y3²-2*z2*z3+z3²
Les carrés s'annulent
r²-2*x1*x3+r²-2*y1*y3-2*z1*z3=r²-2*x2*x3-2*y2*y3+r²-2*z2*z3
Je suis arrivé là mais après je bloque
x1*x3+y1*y3+z1*z3=x2*x3+y2*y3+ z2*z3

x3=(-y2*y3+z2*z3)/x2
x3=(-y1*y3+z1*z3)/x1
(-y1*y3+z1*z3)*x2=(-y2*y3+z2*z3)*x1

y3=(z3*(x1*z2-x2*z1)-x2*x1)/(-x2*y1-x1*y2)
z3=(y3*(x1*y2-x2*y1)-x1*x2)/(x1*z2-x2*z1)

Y a il une solution ?
-----

[gg0]

Bonjour.

J'ai l'impression que tu as noyé le problème dans une profusion de calculs. j'ai l'impression que tu cherches, deux points d'une sphère étant donnés (leurs coordonnées n'ont pas d'importance) distants dans l'espace de L, les points de la sphère distants eux aussi de L de chacun des deux points.
Si c'est bien ça, tu disposes de 3 relations entre les paramètres (les coordonnées des deux points) données par l'appartenance à la sphère et la distance L, et de trois équations sur tes inconnues (les coordonnées du point cherché) données par l'appartenance à la sphère et les deux distances égales à L.
Vu la symétrie du système (*), il est intéressant de bien traiter le problème globalement. Il est aussi pratique de changer les noms des coordonnées pour bien différencier paramètres et inconnues; par exemple (a,b,c) pour le premier point, (d,e,f) pour le deuxième et (x,y,z) pour le point inconnu.
Je viens de regarder, le système de trois équations sur les inconnues se ramène à une équation du second degré (appartenance au cercle) et deux équations de degré 1 qui permettent de déterminer deux inconnues à partir de la troisième.
Mais il reste du travail pour les conditions de résolution.

A toi de faire ...


(*) x, y et z jouent des rôles équivalents

[inviteb6b93040]

Merci
c'est fait mais ça ne me dit pas comment continuer

(a-x3)²+(b-y3)²+(c-z3)²=L²
(d-x3)²+(e-y3)²+(f-z3)²=L²
a²+c²+b²-2*a*x3+x3²-2*b*y3+y3²-2*c*z3+z3² = d²+e²+f²-2*d*x3+x3²-2*e*y3+y3²-2*f*z3+z3²
Les carrés s'annulent
r²-2*a*x3+r²-2*b*y3-2*c*z3=r²-2*d*x3-2*e*y3+r²-2*f*z3
Je suis arrivé là mais après je bloque
a*x3+b*y3+c*z3=d*x3+e*y3+ f*z3

x3=(-e*y3+f*z3)/d
x3=(-b*y3+c*z3)/a
(-b*y3+c*z3)*d=(-e*y3+f*z3)*a

Donc il y aurait 3 équation là ?
x3²+y3²+z3²=r²
C'est 2 là me semble équivallentes
y3=(z3*(a*f-d*c)-d*a)/(-d*b-a*e)
z3=(y3*(a*e-d*b)-a*d)/(a*f-d*c)

[inviteb6b93040]

J'ai oublié de remplacer x3,y3,z3 par X,Y,Z et on peut simplifier avec un rayon de 1

X²+Y²+Z²=1
Y=(Z*(a*f-d*c)-d*a)/(-d*b-a*e)
Z=(Y*(a*e-d*b)-a*d)/(a*f-d*c)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb6b93040]

on a X=(-e*Y+f*Z)/d
(f*Z-e*Y)²/d²+Y²+Z²=1
(f²*Z²-2*f*Z*e*Y+e²*Y²)/d²+Y²+Z²=1


J'avance un peu mais comment arrivé à Z=... ou Y=... avec ça ?

[gg0]

Il y a déjà un problème : On ne peut diviser par a*f-d*c que si c'est non nul !
Autre problème : le -d*b-a*e me semble très suspect. Un seul signe - devrait être présent.

Ces questions traitées, je ne vois pas l'intérêt de calculer Y en fonction de Z et Z en fonction de Y (message #4).

"... deux équations de degré 1 qui permettent de déterminer deux inconnues à partir de la troisième." Puis remplacer dans la troisième équation, évidemment.

Mais en tout cas, tu continues à tirer des conséquence de tes équations sans traiter le système entier. C'est le plus sûr moyen de se perdre et même d'introduire des "fausses solutions".

Fais ce que tu veux, mais je ne te suivrai pas sur ce terrain ...

[inviteb6b93040]

Bonjour, et merci pour votre soutient

Il y a déjà un problème : On ne peut diviser par a*f-d*c que si c'est non nul !
Autre problème : le -d*b-a*e me semble très suspect. Un seul signe - devrait être présent.

Oui ça m'a aussi interpellé mais après vérification je n'ai pas trouvé l'erreur
Elle peut être sur a*f-d*c puisque celle ci donne un problème de division par 0
Mais les autre division aussi

Ces questions traitées, je ne vois pas l'intérêt de calculer Y en fonction de Z et Z en fonction de Y (message #4).

C'est ce que je disais message 3 mais ça sert à détecter les erreurs

"... deux équations de degré 1 qui permettent de déterminer deux inconnues à partir de la troisième." Puis remplacer dans la troisième équation, évidemment.

si la 2 et la 3 sont équivalentes j'ai 2 équation mais une est au second degrés (message #5)

Mais en tout cas, tu continues à tirer des conséquence de tes équations sans traiter le système entier. C'est le plus sûr moyen de se perdre et même d'introduire des "fausses solutions".

Que veut dire traiter le système entier ?

[gg0]

Que veut dire traiter le système entier ?

Transformer le système de trois équations en un système équivalent.
Pour simplifier, si on travaille sur un sous système, on peut momentanément le traiter de la même façon.

Si on ne peut pas travailler ainsi, on fera des calculs qui peuvent aboutir (ou pas), mais dont les solutions seront à vérifier soigneusement..

si la 2 et la 3 sont équivalentes j'ai 2 équation mais une est au second degrés

Pourquoi seraient-elles équivalentes ?

N'importe comment, je ne vois pas où tu as posé le système des trois équations qui est à traiter. Je ne trouve que des équations transformées. Le système de base est
x3²+y3²+z3²=r²
(a-x3)²+(b-y3)²+(c-z3)²=L²
(d-x3)²+(e-y3)²+(f-z3)²=L²

En le traitant par équivalences, on obtient un système du genre
f(x3)=0
x2=
x1=
où f est polynomiale du second degré et X1 et X1 fonctions de X3
Sous certaines conditions sur les coefficients qui amènent dans le cas général à étudier certains cas particuliers; en tenant compte des contraintes sur ces coefficients.

A toi de voir ...

[inviteb6b93040]

J'ai trouvé l'erreur de signe

a * x + b * y + c * z = L²
d * x + e * y + f * z = L²
x = (L²- b * y - c * z) / a
x = (L²- e * y - f * z) / d
(L² - e * y - f * z) / d = (L² - b * y - c * z) / a

[gg0]

Les deux premières équations ne sont pas des conséquences des équations initiales, donc ne servent à rien. On trouve
2(a * x + b * y + c * z) = 2 r²- L²
2(d * x + e * y + f * z) = 2 r²- L²

Je ne sais pas à quoi tu joues, je te laisse jouer seul

[inviteb6b93040]

Bonsoir,

Je ne sais pas comment vous en êtes arrivé là mais au moins le r² devrait disparaître
si vous êtes en accord avec ça
(a-x3)²+(b-y3)²+(c-z3)²=L²
(d-x3)²+(e-y3)²+(f-z3)²=L²
a²+c²+b²-2*a*x3+x3²-2*b*y3+y3²-2*c*z3+z3² = d²+e²+f²-2*d*x3+x3²-2*e*y3+y3²-2*f*z3+z3²
Les carrés s'annulent et puis les -2 aussi
r²-2*a*x3+r²-2*b*y3-2*c*z3=r²-2*d*x3-2*e*y3+r²-2*f*z3
et on trouve donc ça
a*x3+b*y3+c*z3=d*x3+e*y3+f*z3
mais là où je fais une erreur c'est de remettre =L² après avoir simplifié l'égalité
a*x3+b*y3+c*z3=d*x3+e*y3+f*z3=L²

Vous auriez me dire là ou je me suis trompé

[gg0]

Ben oui !

A quoi sert d'appliquer les règles pendant 3 lignes de calcul si c'est pour faire n'importe quoi après ?

Quant à mon résultat, il est assez évident si on traite les équations telles qu'elles sont. Ce que tu te refuses à faire depuis le début, préférant faire et refaire le même calcul qui ne t'amenait nulle part (et maintenant faux !!).
Donc il ne sert à rien que je continue ...

Bonne chance !

[inviteb6b93040]

Donc merci , j'ai compris mon erreur en écrivant le message précédant

[inviteb6b93040]

2ax + 2by + 2cz = 2 r² - L²
2dx + 2ey + 2fz = 2 r² - L²
x= (2 r² - L² - 2by - 2cz)/2a
x= (2 r² - L² - 2ey - 2fz) /2d
On élimine une inconnu
(2 r² - L² - 2ey - 2fz)*a=(2 r² - L² - 2by - 2cz)*d
2ar² - aL² - 2aey - 2afz=2dr² - dL² - 2dby - 2dcz
2ar² - aL² - 2aey - 2afz=2dr² - dL² - 2dby - 2dcz
y(2db - 2ae)= -2ar² + aL² + 2afz + 2dr² - dL² - 2dcz
on trouve Y fonction de Z
y= (aL² - dL² + 2afz - 2dcz - 2ar² + 2dr²) / (2db - 2ae)
Est ce la bonne suite de la méthode ?
Il faut une autre équation
si on prend X²+Y²+Z²=1 on remet 3 inconnus
on remplace X²
((2 r² - L² - 2by - 2cz)/2a)²+Y²+Z²=1
et il faut ensuite développer
c'est bon ?

[gg0]

Quel intérêt ?

Je t'ai donné aux messages #2 et #6 des indications. Tu continues à ne pas vouloir t'en servir ...

Et tu restes toujours sur la même méthode dont tu ne te sors pas et qui perd le système d'équations en route, alors que des méthodes de résolution adaptées s'apprennent au lycée.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Si le problème consiste à trouver, étant donné un point de la sphère de rayon , tous les points de cette sphère situés à une distance (dans ) de , alors il y a moins encombrant que de résoudre directement le système de deux équations , sous la contrainte .

Ces trois équations sont invariantes sous l'action du groupe des rotations de la sphère : si est une matrice orthogonale telle que est le pôle nord, alors est un point de la sphère situé à une distance L de ce pôle. La matrice R n'est pas unique, mais on peut trouver une association plus ou moins standard, par exemple en suivant la plus courte géodésique joignant x au pôle nord (si x n'est pas le pôle sud). Or, les points situés à une distance L du pôle nord se trouve facilement via de simples calculs trigonométriques et/ou Pythagore, donc la forme de se trouve aisément. Il suffit alors d'appliquer pour avoir une expression plus ou moins standard de la réponse.

L'avantage de cette approche est qu'elle use de l'algèbre linéaire et pas de « l'algèbre quadratique ». Du coup, les calculs sont bien moins encombrants.

[inviteb6b93040]

Bonjour

Si je comprend bien votre méthode
Les points à une distance L du pole sont sur un cercle et il suffit de diviser le cercle en arc de longueur L
Puis de trouver tout les cercles parallèle sur la sphère distant de L jusqu’à l'équateur et de les diviser comme le premier
Ensuite de symétriser cette demie sphère pour avoir la sphère complète.
J'ai déjà fait ça ici mais ça ne marche pas car la division entière des diamètres n'est pas toujours possible.
et c'est à cause de la contrainte des cercles parallèles ajoutée par la méthode.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Non, il ne s'agit pas de ce que je dis. Notez toutefois qu'à la lecture de votre premier message et en survolant la discussion avec gg0, j'interprète votre problème comme étant celui de trouver tous les points y d'une sphère (de rayon r) se trouvant à une distance L d'un point x de la sphère donné ; il se peut que j'interprète mal votre problème, dans quel cas mon message n'était peut-être pas utile.

Ce que je disais, c'est qu'on peut toujours supposer que x est le pôle nord : cela ne demande qu'à choisir un bon repère de l'espace réel euclidien tridimensionnel. Dans ce cas, trouver les y à une distance L de x se fait simplement : c'est un problème de trigonométrie. Exprimer la réponse dans un autre système de coordonnées n'est qu'un problème d'algèbre linéaire. Jamais il n'y a vraiment ici à résoudre deux-trois équations quadratiques.

Cordialement

[invite2ec994dc]

Bonjour,

On a donc 3 équations et 3 inconnue (x3,y3,z3)
x3²+y3²+z3²=r²
(x1-x3)²+(y1-y3)²+(z1-z3)²=L²
(x2-x3)²+(y2-y3)²+(z2-z3)²=L²

Y a il une solution ?

Bonjour,

Il suffit de tracer la sphère de centre O=(0,0,0) et de rayon r, de choisir un point A3=(x3,y3,z3) et de tracer la sphère de centre A3 et de rayon L, et d'y choisir 2 points A2,A1.
Alors tu obtiens une solution pour ton système d'équation, non ?

[inviteb6b93040]

Bonjour,

x est le pôle nord :
Dans ce cas, trouver les y à une distance L de x se fait simplement

cela est la définition d'un cercle de centre X et de rayon L
C'est bien plus compliqué de trouver tout les points équidistants d'une sphère
Des équations valent mieux que de long discours

'2(dx + by) = 2 r²- L² - 2cz
'2(dx + by) = 2 r²- L² - 2cz
'dx + by=(2 r²- L² - 2cz)/2
'y =(2 r²- L²)/(4 e(d x + f z))


'dx*(4edx + 4efz) + (b2r²- bL²) = (r²- L²/2 - cz)(4edx + 4efz)

'4ed²x² + 4edxfz + 4edczx - 4edr²x + 2L²edx = + 4r²efz + 2L²efz + 4czefz - b2r² + bL²
'2ed(2dx² + 2x(-r² + L² + cz + fz)) = 4r²efz + 2L²efz + 4czefz - b2r²+ bL²
'2dX² + 2(-r² + L² + cz + fz)X + (4r²efz + 2L²efz + 4czefz - b2r²+ bL²)/(2ed)=0
'A=2d
'B=2(-r² + L² + cz + fz)
'C=(4r²efz + 2L²efz + 4czefz - b2r²+ bL²)/(2ed)
'delta=B²-4AC=4(-r² + L² + cz + fz)²-8d(4r²efz + 2L²efz + 4czefz - b2r²+ bL²)/(2ed)
'delta=4((-r² + L² + cz + fz)² - (4r²efz + 2L²efz + 4czefz - b2r² + bL²)/e)
'x1 = (Sqr(delta) - B)/2A
'et
'x2 = (-Sqr(delta) - B)/2A
'x1=2sqr(((-r² + L² + cZ + fZ)² - (Z(4r²ef + 2L²ef + 4czef) - b2r² + bL²)/e))/(4d)

[inviteb6b93040]

On peut passer par les coordonnées sphériques rendant à la sphère ce qui lui appartient
Seulement 2 inconnus, les 2 angles.
Les trois coordonnées sphériques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par:

[invite93e0873f]

Bonjour,

x est le pôle nord : [...]
Dans ce cas, trouver les y à une distance L de x se fait simplement

cela est la définition d'un cercle de centre X et de rayon L
C'est bien plus compliqué de trouver tout les points équidistants d'une sphère
Des équations valent mieux que de long discours

Vous vous méprenez sur ce que j'ai écrit. Tous les y de situés à une distance L du pôle nord x ne sont pas sur un cercle, mais sur une sphère de centre x et de rayon L. Les y de cette sphère qui appartiennent aussi à la sphère de centre 0 et de rayon r se trouvent sur un cercle, à savoir l'intersection desdites sphères ; ce cercle n'est cependant pas centré en x, ni de rayon L.

Afin de trouver le centre et le rayon de ce cercle, il suffit de faire un calcul trigonométrique. C'est ce calcul que j'ai qualifié de simple ; évidemment, si vous persistez à vouloir vous lancer dans des calculs interminables, il n'est pas étonnant que ce que je qualifie de simple vous paraisse bien plus compliqué.

Les seuls messages longs, obscurs et fastidieux de ce fil sont les vôtres, alors vous devriez reconsidérer votre remarque sur les « longs discours ». De la réflexion et de la considération pour les réponses des intervenants valent mieux que se lancer tête baisée dans des calculs et de s'obstiner à les rendre inintelligibles et interminables.

Cordialement,

Universus

[inviteb6b93040]

J'ai soumis le problème à un solveur d'équation Free Universal Algebra Equation Solver

Je ne veux pas tout les points de la sphère situé à la distance L du pole nord
Je veux tout les points sur une sphère qui sont équidistants en donnant un rayon R et une distance L.
x^2+y^2+z^2=r^2
(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2=l^2
(d-x)^2+(e-y)^2+(f-z)^2=l^2

ça ne 'est pas la même chose.

ça ne doit pas être simple car il y a mis 10 m 51 s
Et il n'a traité que la première équation en ignorant les 2 autres !

[invite93e0873f]

Je ne veux pas tout les points de la sphère situé à la distance L du pole nord
Je veux tout les points sur une sphère qui sont équidistants en donnant un rayon R et une distance L.
x^2+y^2+z^2=r^2
(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2=l^2
(d-x)^2+(e-y)^2+(f-z)^2=l^2

D'accord, je ne considérais pas le bon problème. Mais quel est le problème donc ? Quels points sont équidistants à quoi ? Que sont (a,b,c) et (d,e,f) ? Actuellement, vos équations donnent l'intersection de la sphère S((0,0,0), r) avec la sphère S((a,b,c), l) et la sphère S((d,e,f), l) : c'est pas le problème auquel je pense en lisant seulement « tous les points qui sont équidistants sur la sphère » ...

[gg0]

Bonjour Universus.

Il s'agit, deux points A(a,b,c) et B(d,e,f) étant donnés sur la sphère, distincts, de trouver les points C de la sphère tels que ABC soit un triangle équilatéral. Je n'ai pas trop compris si la sphère est donnée et les points sont particuliers, mais il est évident que pour certaines positions de A et B, il n'y a pas de point C. par exemple pour AB proche de 2r.
Le problème est effectivement assez difficile à traiter et nécessite de faire les calculs soigneusement, en conservant le plus possible la symétrie entre A et B.

Cordialement.

NB : Tu verras si tu veux faire le travail à la place de EauPure, moi je ne le ferai pas.

[invite2ec994dc]

Bonjour Universus.

Il s'agit, deux points A(a,b,c) et B(d,e,f) étant donnés sur la sphère, distincts, de trouver les points C de la sphère tels que ABC soit un triangle équilatéral. Je n'ai pas trop compris si la sphère est donnée et les points sont particuliers, mais il est évident que pour certaines positions de A et B, il n'y a pas de point C. par exemple pour AB proche de 2r.
Le problème est effectivement assez difficile à traiter et nécessite de faire les calculs soigneusement, en conservant le plus possible la symétrie entre A et B.

Cordialement.

NB : Tu verras si tu veux faire le travail à la place de EauPure, moi je ne le ferai pas.

Bonjour,

Je comprend mieux le problème maintenant, il y a 1 (ou 2) solution(s) possible, pour le voir il suffit de prendre le plan passant par les points (AB) on le fait tourner autour de (AB) afin d'obtenir comme intersection un cercle avec le bon rayon (ayant pour triangle équilatérale inscrit, un triangle équilatérale de longueur AB), on a alors au plus 2 possibilités.

[invite93e0873f]

Merci gg0 pour cette précision ; en relisant le premier message, je vois bien qu'il s'agissait de trouver un triangle géodésique équilatéral...

Le mieux me semble toujours de procéder géométriquement et pas algébriquement : il suffit de trouver explicitement un seul triangle géodésique équilatéral de « côté » L pour connaître tous les autres à isométrie près. J'étudierais donc le cas d'un triangle équilatéral centré sur le pôle nord. Pour ce faire, il suffit de considérer une « pointe » de ce triangle, un triangle géodésique isocèle dont l'un des sommets est le pôle nord. Je considérerais ainsi deux méridiens faisant entre eux un angle de 60° au pôle et je chercherais à trouver à quelle latitude la distance (dans l'espace ambiant) entre les deux points de cette latitude, un sur chaque méridien, est L. En raison de la symétrie de réflexion nord-sud, il suffit de considérer les latitudes dans l'hémisphère nord. Le calcul n'est pas si compliqué. On voit par exemple aisément qu'une solution n'existe que si .

Cordialement

[gg0]

Attention,

il ne s'agit pas de triangle géodésique, ce n'est pas de la trigonométrie sphérique. Il s'agit de triangles équilatéraux dans l'espace, basés sur un côté connu. Donc des méridiens à 60° ne servent à rien !

Les premiers messages de ce fil explicitent pourtant clairement la question.

Cordialement.

[invite93e0873f]

Attention,

il ne s'agit pas de triangle géodésique, ce n'est pas de la trigonométrie sphérique. Il s'agit de triangles équilatéraux dans l'espace, basés sur un côté connu. Donc des méridiens à 60° ne servent à rien !

Les premiers messages de ce fil explicitent pourtant clairement la question.

J'avais mal lu la première fois, mais je ne pense pas m'égarer actuellement. D'ailleurs, nulle part dans ma démarche je n'utilise véritablement la trigonométrie sphérique ; je remarque seulement qu'un triangle euclidien équilatéral dont les sommets appartiennent à une sphère se projette sur celle-ci, via la projection radiale, en un triangle sphérique équilatéral. En particulier, le centre du triangle euclidien est envoyé sur le centre du triangle image et la différentielle de l'application est une dilatation et est a fortiori conforme. J'ai effectivement commis une bévue en parlant de 60°, je voulais écrire 120° (= 360°/3, l'angle au sommet d'une « pointe » d'un triangle équilatéral). On peut toujours supposer que le centre de ce triangle sphérique est le pôle nord, de sorte que la contrainte « longueur corde = L » revient à connaître la latitude de sommets du triangle (soit encore la distance entre le centre du triangle euclidien et du pôle nord). Une fois ceci fait, une rotation permet de ramener un côté au segment connu .

Je cherche à tenir compte de la sphère de rayon r : si le problème ne consistait qu'à trouver les triangles équilatéraux dans l'espace dont l'un des segments-côtés est connu, ce serait vraiment simple, uniquement de l'algèbre linéaire. (Dans les faits, cette démarche pourrait s'adapter pour ramener les sommets sur la sphère, remplaçant mon autre démarche, mais bon...)

Quand je lis

Points d'une sphère de rayon r
x²+y²+z²=r²
équidistants
L=corde d'un coté d'un triangle sphérique
(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)²=L²
2 triangles partages un segment
(x1-x3)²+(y1-y3)²+(z1-z3)²=L²
(x2-x3)²+(y2-y3)²+(z2-z3)²=L²

je ne réussis pas mieux qu'à interpréter le problème comme celui d'un triangle équilatéral euclidien de côté L dont les sommets sont situés sur la sphère S((0,0,0),r). Quand je poursuis en lisant

On part d'un segment connu
n = 2 * pi * r / L
da = 2 * pi / n
x1 = r * Sin(0)
y1 = r * Cos(0)
x2 = r * Sin(da)
y2 = r * Cos(da)

je me dis qu'on suppose le segment-côté connu situé sur l'équateur de la sphère (), le point étant même choisi comme étant . Par contre, de manière à ne pas faciliter ma compréhension, poser m'amène à penser que L est soudainement la longueur de l'arc sous-tendu par le segment .

Ceci dit, si vraiment je ne parviens pas à comprendre ce problème et que je propose du coup des solutions impertinentes, il vaut mieux m'éclipser.

Sincèrement,

Universus

[inviteb6b93040]

Il y a une erreur dans l’énoncé car on part d'un arc de longueur L puis on cherche des segments de longueur L
Il faudrait avant calculer la longueur de la corde de l'arc pour l'utiliser comme coté des triangles que l'on cherche mais c'est un détail.