Dénombrement: résolution equa diophantiennes

[invite133d9a47]

Bonjour à tous !
je suis bloqué dans la résolution d'une équation dans un exo de dénombrement.
N'étant pas sûr de mon résultat, je vous écris mon exo, afin d'être sûr d'avoir juste.
Une urne contient 24 boules rouges et k boules vertes. Déterminer k sachant que la proba de tirer au hasard une boule rouge et deux boules vertes de l'urne en un seul tirage de trois boules est 72/247. On s'interdira de proposer une solution tout droit sortie de la calculatrice, en s'en tenant à l'art des équations diophantiennes.

voici mon raisonnement :
le Nombre de chemins possibles pour tirer une boule rouge : 1 parmi 24
le Nombre de chemins possibles pour tirer deux boules vertes : 2 parmi k
le Nombre de chemins total qui permet de tirer trois boules 3 parmi 24+k
ainsi, la probabilité 72/47=((1 parmi 24)*(2 parmi k))/(3 parmi 24+k)
Est ce bien cela ?

Puis, je suis parti à la recherche de k: donc j'ai simplifié l'expression afin d'obtenir :
247*k*(k-1)=(24+k)(23+k)(22+k)
et je suis donc coincé ici, car nous n'avons jamais eu de cours sur la résolution d'équation de degré 3. Il faudrait également que je me serve de la question précédente qui était la suivante : déterminer le nombre de diviseurs de 22*23*24

Bon je pensais dire que 247=19*13 qui sont premiers, donc d'apres Gauss, ces deux nombres divisent, chacun, un facteur...mais je bloque ici.

d'avance je vous remercie pour votre aide, et les autres pour avoir été aussi courageux de lire ce message jusqu'au bout !

Bonne soirée à tous les internautes !
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[invite8ab5fa54]

En écrivant que (22+k)(23+k)(24+k) = 22*23*24 + "quelque chose divisible par k" , ça peut peut-être faire avancer les choses

[invite133d9a47]

excusez moi, mais je ne vois pas quel chemin prendre afin d'arriver au résultat..

[invite8ab5fa54]

Une méthode serait de montrer , avec le développement que j'ai donné , que , comme k divise (22+k)(23+k)(24+k), alors k est un diviseur de 22*23*24.
Ici , on utilise la question précédente des diviseurs de 22*23*24 , ce qui détermine un ensemble de valeurs possibles pour k.
Et enfin traiter au cas par cas - par exemple écrire la décomposition en facteurs premiers du terme de gauche et du terme de droite pour chaque "k possible" - , jusqu'à déterminer la bonne valeur de k

Je ne suis pas certain que ce soit la méthode attendue ( "On s'interdira de proposer une solution tout droit sortie de la calculatrice, en s'en tenant à l'art des équations diophantiennes." ) , mais elle fonctionne en tous cas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Bonjour,

Je ne suis pas certain que ce soit la méthode attendue ( "On s'interdira de proposer une solution tout droit sortie de la calculatrice, en s'en tenant à l'art des équations diophantiennes." ) , mais elle fonctionne en tous cas

Considérant votre suggestion et une stratégie déjà mentionnée par jordan43 :

Une méthode serait de montrer , avec le développement que j'ai donné , que , comme k divise (22+k)(23+k)(24+k), alors k est un diviseur de 22*23*24.
Ici , on utilise la question précédente des diviseurs de 22*23*24 , ce qui détermine un ensemble de valeurs possibles pour k.
Et enfin traiter au cas par cas - par exemple écrire la décomposition en facteurs premiers du terme de gauche et du terme de droite pour chaque "k possible" - , jusqu'à déterminer la bonne valeur de k

Bon je pensais dire que 247=19*13 qui sont premiers, donc d'apres Gauss, ces deux nombres divisent, chacun, un facteur [parmi 22+k, 23+k et 24+k]...

il y a moyen de faire moins de cas par cas, du moins d'exclure des possibilités rapidement, donnant alors à la démarche un arrière-goût un peu moins calculatoire.