Résolution équa diff

invite79d3a9a7 · 10/04/2011, 17h15

Bonjour bonjour.

J'étudie le mouvement du siège éjectable pour mon TIPE, et je n'arrive pas à résoudre une équa diff...

L'équation est : z''(t) + (rho*Sz*Cz)*z'(t)/2m = g(M/m-1)
(roh : masse volumique, M : poussée.)

Je n'arrive pas à trouver la solution particulière :/

Merci d'avance !

**mc222** · 10/04/2011, 18h16

Salut, normalement si c'est bien la pression dynamique que je vois, la vitesse doit intervenir au carré soit z'(t)² au lieu de z'(t).

Si c'est bien un carré, la solution est tangente hyperbolique il me semble, sinon, une exponentielle.

invite79d3a9a7 · 10/04/2011, 18h39

Ah oui en effet

merci ! et au niveau de la solution particulière? :/

**LPFR** · 10/04/2011, 18h46

Bonjour.
Regardez ici.
Au revoir.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite79d3a9a7 · 10/04/2011, 18h56

Merci. Mais j'avais oublié le carré. Du coup ca me donne une solution super compliqué avec Wolfram :/

invite79d3a9a7 · 10/04/2011, 18h59

J'ai donc deux équations :

x''(t) + a x'(t)² =0
z''(t) + a z'(t)² = b

Je sais pas trop comment résoudre..

**obi76** · 10/04/2011, 19h00

x et z sont indépendants ? Tu peux donc les résoudre indépendamment l'une de l'autre, elles ne sont pas couplées...

Cordialement,

invite79d3a9a7 · 10/04/2011, 19h24

Ils sont indépendants oui, mais je n'arrive pas à les résoudre, même une à une.

**LPFR** · 10/04/2011, 19h42

Envoyé par rod_59

Merci. Mais j'avais oublié le carré. Du coup ca me donne une solution super compliqué avec Wolfram :/

Re.
Si wolfram vous donne un résultat compliqué, c'est que le résultat est compliqué. La vie est comma ça!
Mais il est possible que ce soient vos équations de départ qui ne soient pas correctes. Parfois on cherche des problèmes de côté maths alors que c'est du côté physique qu'il faut regarder.
A+

invite79d3a9a7 · 10/04/2011, 20h04

Merci du conseil. J'ai revérifié mes équations, elles sont normalement correctes. C'est donc les solutions qui sont compliquées :/ Merci

**mc222** · 10/04/2011, 20h07

Ok,

Commencons par la première.

$\text{[math]}$

or: $\text{[math]}$

Donc : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Enfait ton équation différentielle qui semblait être du second ordre étant en réalité de premier, elle ne liait une variable qu'à sa dérivée première (lien entre vitesse et accélération).
Il n'y a aucun lien du second ordre ( lien accélération position).

Pour la résoudre, il suffit juste de séparer les variables de part et d'autre de l'égalité :

$\text{[math]}$

On reconnait la forme $\text{[math]}$ qui donne après intégration $\text{[math]}$ d'où :

$\text{[math]}$

avec : $\text{[math]}$ la vitesse initiale suivant x

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Si tu cherche la position en sur x en fonction du temps, il n'y a qu'à intégrer cette expression :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et rebelotte pour un changement de variable :

$\text{[math]}$

Là, il faut se ramener à une expression de la forme $\text{[math]}$ , pour cela, on fait apparaitre $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Là, on intègre :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Donc finalement:

$\text{[math]}$

Bon, quand tu auras bien cerné toute cette démo, je te montrerai pour l'autre équation, c'est un peu plus compliqué.

invite79d3a9a7 · 10/04/2011, 20h51

Ah oui ! En effet c'est beaucoup plus simple comme ça. Et ça donne le résultat que je trouve avec Mathematica. Merci beaucoup !
Et merci de m'aider aussi pour la suivante, c'est très gentil

**mc222** · 10/04/2011, 20h59

Je te ferai la démo demain soir, ce soir j'ai pas le temps.

A +

invite79d3a9a7 · 10/04/2011, 21h11

D'accord merci pour le temps accordé

**mc222** · 11/04/2011, 18h41

Bon, c'est partit pour l'autre équation !

$\text{[math]}$

On fait la même chose qu'hier :

$\text{[math]}$
Donc:

$\text{[math]}$

L'équation devient donc :

$\text{[math]}$

Que je préfère écrir comme ceci :

$\text{[math]}$

Il vient ensuite :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ensuite, je multiplie de part et d'autre par $\text{[math]}$ , soit:

$\text{[math]}$

Le terme de gauche est de la forme : $\text{[math]}$ qui est la dérivée de la fonction argument tangente hyperbolique notée : $\text{[math]}$ .

Reste donc à intégrer :

$\text{[math]}$

Avec $\text{[math]}$ : vitesse initiale suivant $\text{[math]}$ .

Tout ça, ça nous donne :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

D'où:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ensuite:

$\text{[math]}$

D'où :

$\text{[math]}$

Donc y'a plus qu'a intégrer :

$\text{[math]}$

Ici, on a :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On va donc le faire apparaitre :

$\text{[math]}$

On peut simplifier le terme avant la tanh :

$\text{[math]}$

Le plus dur est fait, il ne reste qu'à donner la définition de $\text{[math]}$ soit : $\text{[math]}$

On sépart les variables et hop !

$\text{[math]}$

Et à droite on à directement $\text{[math]}$ qui ne demande qu'à être intégré !

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

bon voila.

invite79d3a9a7 · 11/04/2011, 20h23

:O sacré démonstration ! Merci beaucoup. Il y a certaines choses que je ne comprend pas bien.. Merci de bien vouloir m'expliquer.
Tout d'abord, lors de la première intégration, pourquoi fais tu (le terme en 0) - (le terme en t). Ca ne devrait pas être le contraire? Soit c'est une erreur ou alors j'aimerais bien que tu m'éclaire..
Parce que du coup si c'est une erreur il faut multiplier par u' qui est positif et non négatif..
Donc voila merci de bien vouloir m'éclairer !
Sinon c'est super ça m'aide énormément merci !

**mc222** · 11/04/2011, 20h27

Envoyé par rod_59

:O sacré démonstration ! Merci beaucoup. Il y a certaines choses que je ne comprend pas bien.. Merci de bien vouloir m'expliquer.
Tout d'abord, lors de la première intégration, pourquoi fais tu (le terme en 0) - (le terme en t). Ca ne devrait pas être le contraire? Soit c'est une erreur ou alors j'aimerais bien que tu m'éclaire..
Parce que du coup si c'est une erreur il faut multiplier par u' qui est positif et non négatif..
Donc voila merci de bien vouloir m'éclairer !
Sinon c'est super ça m'aide énormément merci !

Effectivement, je me suis trompé !

Bon, il se peux qu'il y ait d'autre petites erreurs de signe, je ne suis pas infaillible

, le résultat doit se corriger facilement.

Mais la démarche est là.

Si tu as d'autre question n'hésite pas

invite79d3a9a7 · 11/04/2011, 20h49

Ben j'ai repris la démonstration de a à z sinon tout me semble correct!
C'est marqué que tu as 19 ans tu fais quoi comme étude? Parce que tu as un bon niveau ^^
Encore merci

**mc222** · 11/04/2011, 20h55

J'ai l'air, mais en réalité c'est un problème que je me suis déja posé, sans avoir pris la pène de faire la démo rigoureusement pour autant ^^.

Comme ca, ça m'aura permis de résoudre ce problème totalement.

Je suis en IUT et toi, quel age as tu ?

invite79d3a9a7 · 11/04/2011, 20h56

18 ans jsuis en 1ère année d'école d'ingénieur. Ben bien résolu le problème ^^

**mc222** · 11/04/2011, 21h01

héhé, ouai.

Sinon, j'ai oublié de préciser :

$\text{[math]}$ est la vitesse limite de chute (atteinte pour z''=0).

Mais vérifie sur une traceur de courbe que la vitesse se stabilise bien à cette valeur je te conseil, juste pour vérifier, on est jamais trop prudent.

invite79d3a9a7 · 11/04/2011, 21h04

(b/a) ? Pourtant ca intervient pas dans la solution finale..
Vais allé vérifier

**mc222** · 11/04/2011, 21h07

y a son inverse qui intervient, en réalité, y'a le quotient:

(vitesse initiale/vitesse limite ) qui intérevient dans tes deux équations différentielles

invite79d3a9a7 · 11/04/2011, 21h09

Ah oui. Comment tu sais ça? ^^ que c'est la vitesse limite

**mc222** · 11/04/2011, 21h12

A par contre chui con, y a pas de vitesse limite pour la première, faute d'étourderie^^.

Pour l'autre, z(t), tu reprend l'équation différentielle, tu pose z''=0.
Cela correspond au cas où ton siège éjectable est en mouvement rectiligne uniforme, ensuite tu isole v.

invite79d3a9a7 · 11/04/2011, 21h17

Rectiligne uniforme par rapport à z donc? Parce que la c'est l'étude de la phase pendant la poussée (donc avant 0.45 secondes) et je trace z en fonction de x pour avoir la trajectoire. Cette vitesse limite elle correspondrait à quoi dans ma courbe.. ? Tu pense ca peut être intéressant d'en parler?

**mc222** · 11/04/2011, 21h21

oui, suivant z bien entendu.

Si tu cherche la trajectoire, la vitesse limite n'a pas vraiment d'intéret.

Mais pourquoi n'est-ce que l'étude de la phase de poussée ? L'équation différentielle est tout le temps valable. D'où sortent ces 0.45 secondes ?

invite79d3a9a7 · 11/04/2011, 21h24

Ben les moteurs fusées donnent une poussée au siège durant 0.45 secondes pour lui permettre de s'éjecter. Et je fais aussi l'étude après la phase de poussée, donc oui il y a toujours les equa diff mais sans la force de poussée. Selon x c'est la même, et selon z ce sera la même mais avec un b différent et une vitesse initiale.

**mc222** · 11/04/2011, 21h26

a ok.

Quoi qu'il en soit, si c'est la trajectoire qui t'interesse, la vitesse limite n'appareitera pas sur ta courbe.

Mais cela reste intéressant d'en parler.

invite79d3a9a7 · 11/04/2011, 21h27

Oui surement.. Je pourrai dire quoi à son sujet? ^^

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