Matrice semblable à son identité : propriété ?

[invited5da176d]

Bonjour,

Je coince sur un exercice de math depuis un bon moment ...

On me donne la matrice et on me demande si elle est diagonalisable.
J'ai cherché les valeurs propres et je trouve 1, √3, -√3
J'ai 3 valeurs propres pour une matrice 3x3, donc j'en déduit que oui, elle est diagonalisable.

Mais voila, ensuite, on me demande de montrer par des operations elementaires sur les lignes et les colonnes que A est semblable à B, B étant en fait la matrice identité.

C'est la que ca coince : pour moi, une matrice semblable reviendrai a dire que A = PBP^-1 avec P matrice de passage.
Problème :
- la matrice de passage et son inverse me donnent des matrices assez complexes à cause de √3-2 et autres fractions à racines.
- Dans le calcul de PBP^-1 , rien ne se simplifie et je ne retrouve pas A
- Pour trouver P je passe forcément par les vecteurs propres, ce qui pour moi sort des opérations élémentaires sur les colones/lignes

Es ce qu'il n'y aurai pas une propriété par rapport aux matrices semblables à leur identité ? Je n'ai pas eu de cours sur les matrices semblables, et je n'ai rien trouvé dans mes livres ni sur internet, mais je suis peut être passé à coté ...
Ou alors est ce que vous repérez une erreur de méthode ?

Si ca peut aider, la question suivant (et derniere) demander de calculer Aⁿ

Merci
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[gg0]

A n'est pas semblable à l'identité puisqu'elle n'a pas le même déterminant.
Pour ta question sur les matrices semblables à l'identité, il te suffit de prendre B=I dans PBP^-1 pour voir tout de suite ...

Il y a sans doute un problème soit dans l'énoncé, soit dans ce que tu as fait. par contre, A est semblable à une matrice diagonale B que tu connais déjà.

Cordialement.

[invited5da176d]

Je vois tout à fait l'idée avec PIP-1 ... Après il y a peut être une erreur dans l'énoncé au niveau de A ... vu que l'énoncé demander de montrer, sous entendu donc qu'elles sont bien semblable. C'est un exercice d'annale d'oral des concours véto, ça m'étonne qui ai une erreur mais elle avais peut etre été rectifiée à l'oral par les professeurs sans que ça apparaisse sur les sujets.

Je vais chercher par rapport à une autre matrice B.

Merci de ta réponse.

[gg0]

Oui,

Une matrice semblable à l'identité est l'identité. C'est la matrice de l'application identique, qui n'a qu'une seule écriture quelle que soit la base.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5da176d]

merci beaucoup

[inviteb6b93040]

Bonjour,

Je coince sur un exercice de math depuis un bon moment ...

On me donne la matrice Pièce jointe 282594 et on me demande si elle est diagonalisable.

Merci

à moins qu'il y ai une erreur de signes

1  0  0
0  2 -1
0 -1  2

Car celle là donne bien un vecteur identique après multiplication

[inviteb6b93040]

montrer par des operations elementaires sur les lignes et les colonnes que A est semblable à B, B étant en fait la matrice identité.

Il n'y a pas d'erreur alors puis qu'il suffit d'inverser les signes de la colonne du milieu