Matrice nilpotente et projecteurs

[invitee4c1d2eb]

Bonjour,

Quelqu'un peut il me donner un indice pour résoudre cet exercice svp ?
Soit M de Mn(K) une matrice nilpotente non nulle. Montrer que M ne peut pas s'écrire comme une somme de projecteurs non nuls.
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[gg0]

Bonjour.

C'est quoi, K ? car dans certains cas de corps de caractéristique finie c'est faux.
Sinon, tu peux écrire une somme de projecteurs non nuls, ce qui te donne une matrice, et regarder ce que donnent les puissances de cette matrice. Commence avec une somme à 1 seul élément, puis deux.

Cordialement.

[invitee4c1d2eb]

ce n'est pas précisé mais K=R ou C je pense
merci

[invitec998f71d]

une matrice nilpotente ne peut avoir une valeur propre A non nulle. Sinon avec le vecteur associé comme premier vecteur de base la premiere colonne serait A avec des zeros en dessous et toutes ses puissances seraient non nulles.
Peut on prouver que toute somme finie de projecteurs non nuls possede une valeur propre non nulle?
colonne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4c1d2eb]

Je ne sais pas si on peut prouver ça mais sinon il suffit d'utiliser la trace en fait. tr(M)=0 or tr(p)>0 d'où tr(somme p)>0 donc M ne peut pas être égale à une somme de projecteurs.

[gg0]

Oui,

ça me semble correct. Mais je ne suis pas très fiable en algèbre

[invitec998f71d]

Si c'est tout bon
Tr(projecteur) = 1 et
trace (somme) = somme (trace)