Décomposition d'une fonction à plusieurs variables en partie paire et partie impaire

**klark** · 27/05/2015, 19h07

Bonjour,

J'ai une fonction à deux variables que je souhaite décomposer en une partie paire et une partie impaire. Pour une fonction à une seule variable je sais faire :

$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

Cependant si ma fonction devient une fonction à deux variable, par exemple $f(x,y)$ j'arrive pas à voir comment faire. J'ai essayé de l'écrire sous la forme $f(x)=\frac{f(x,y)+f(-x,y)}{4}+\frac{f(x,y)-f(-x,y)}{4}+\frac{f(x,y)+f(x,-y)}{4}+\frac{f(x,y)-f(x,-y)}{4}$ . Est ce correcte?? A l'aide s'il vous plaît.

**gg0** · 27/05/2015, 20h48

Bonsoir.

Comment définis-tu la parité pour une fonction de deux variables ??

Cordialement.

**klark** · 27/05/2015, 22h25

En fait je cherche à écrire la fonction $f(x,y)$ sous la forme d'une sommation de quatre fonctions :
$f(x,y)=f_{pp}(x,y)+f_{pi}(x,y)+f_{ip}(x,y)+f_{ii}(x,y)$ tels que $p$ et $i$ désignent respectivement paire et impaire selon les variables x et y.

**klark** · 27/05/2015, 22h44

Pour être plus précis, ma fonction est $f(x,y)=\frac{e^{-jk\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+z_0^2}}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+z_0^2}}$ . Je cherche à l'exprimer sous la forme d'une somme de quatre fonctions : $f(x,y)=f_{pp}(x,y)+f_{pi}(x,y)+f_{ip}(x,y)+f_{ii}(x,y)$
avec :
$f_{pp}(x,y)$ : paire selon x et y
$f_{pi}(x,y)$ : paire selon x et impaire selon y
$f_{ip}(x,y)$ : impaire selon x et paire selon y
$f_{ii}(x,y)$ : impaire selon x et impaire selon y
j est le nombre complexe / j^2=-1
Merci par avance.

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**Médiat** · 28/05/2015, 05h36

Bonjour,

Votre première fonction n'est pas paire en y.

Par contre $\frac{f(x, y) + f(-x, y) + f(x, -y) + f(-x, -y)}{4}$ est bien paire en x et en y, je vous laisse finir.

invite37083ed2 · 28/05/2015, 07h16

Mais sinon pour moi une fonction paire c'est pas ça.
Pour moi c'est "pour tout x du domaine de f, f(x)=f(-x)".
Donc ici ta fonction est définie dans R², on doit avoir "pour tout x de R², f(x)=f(-x)"
Soit ici, si on note x=(a,b), on a f(a,b)=f(-a,-b).

**klark** · 28/05/2015, 14h21

Bonjour,

Merci beaucoup pour vos réponses.
Médiat, j'ai essayé de trouver les trois autres fonctions en changeant les signes mais sans succès. Serait-il possible de détailler plus. Franchement, je vois pas comment faire.
Merci par avance.

**Médiat** · 28/05/2015, 14h46

Essayez $\frac{f(x, y) - f(-x, y) + f(x, -y) - f(-x, -y)}{4}$ et vous devriez trouver les autres

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