décomposition de la fonction racine carré paire et impaire

[invite99e93d4e]

Bonjour,

J'ai vu que toute fonction pouvait être décomposé en l'addition de deux fonction: l'une paire et l'autre impaire.

f(x) = [f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2

Mon problème est que je n'arrive pas à l'appliquer à la fonction racine carré défini pour x un réel supérieur ou égal à 0.
On pose cette fonction f(x)=x^1/2 et f appartient à l'ensemble des réel

en essayant de la décomposant grâce à f(x) = [f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 on obtient :

x^1/2 = [x^1/2+(-x)^1/2]/2 + [x^1/2-(-x)^1/2]/2

or si on prend un x au hasard, par exemple 4, on obtient:

4^1/2 = [4^1/2+(-4)^1/2]/2 + [4^1/2-(-4)^1/2]/2

soit:
4^1/2 = [4^1/2]/2+[(-4)^1/2]/2 + [4^1/2]/2 - [(-4)^1/2]/2

soit:
2=1 + 1 + [(-4)^1/2]/2 - [(-4)^1/2]/2
2=2 + [(-4)^1/2]/2 - [(-4)^1/2]/2
2=2 + [(-4)^1/2 - (-4)^1/2]/2

Et à partir de là je bug parce que la racine carré de (-4) est impossible vu le domaine de définition de la fonction.
Il aurai été possible uniquement dans les complexe.
Est ce que cela veut dire que certaine fonction dans un certain domaine de définition ne peut pas etre décomposable en l'addition d'une fonction paire et d'une fonction impaire?

merci d'avance
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Serait-ce une bêtise de ma part de dire que seule une fonction définie sur un domaine symérique par rapport à 0 (lR par exemple) peut être décomposée en une somme de fonction paire et impaire ?

Cordialement,
Duke.

EDIT : le problème se pose moins avec racine(|x|)