Surjection

[inviteba4146d1]

Bonjour.

Dans la définition de la surjection on a "Tout élément de l'ensemble d'arrivée à au moins un antécédent".

Or une application de E dans F est surjective si et seulement si il existe un élément un seul de F qui ait deux antécédents exactement. Les autres ont un antécédent et un seul, avec card(E)=n+1 et Card(F)=n

N'y a t-il pas incompatibilité entre les deux définitions : au moins un signifie bien 1,2,3...alors pourquoi deux antécédents exactement dans la deuxième définition ?

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas où tu as trouvé cette définition fausse " une application de E dans F est surjective si et seulement si il existe un élément un seul de F qui ait deux antécédents exactement". Oublie-la vite et apprends la définition de "surjectif". Une surjection étant une application surjective, c'est à dire que tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent.

Cordialement.

[inviteba4146d1]

C'est pas pour dénigrer. Je me base sur les corrigés des exercices du Bréal mais çà me parait un sacré ramassis de bêtises au final

[gg0]

Tu es sûr d'avoir bien compris ??? A moins que ces corrigés aient été faits pas un fantaisiste ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteba4146d1]

Ce n'est pas la première fois que tu me fais remarquer des erreurs. Voici l'exercice et sa correction :

Photo du 27-05-2015 à 08.57.jpg

Photo du 27-05-2015 à 08.57 #2.jpg

[invite9dc7b526]

Or une application de E dans F est surjective si et seulement si il existe un élément un seul de F qui ait deux antécédents exactement. Les autres ont un antécédent et un seul, avec card(E)=n+1 et Card(F)=n

C'est une propriété tellement singulière que ça n'aurait pas tellement d'intérêt de lui attribuer un nom.

De mon temps, quand on apprenait les rudiments de théorie des ensembles, on représentait les relations par des schémas avec des flèches. J'aimais bien y penser comme à des vraies flèches. Dans une application chaque archer tire une flèche et une seule. L'application est injective si chacun vise un ennemi différent. Elle est surjective si tous les ennemis sont tués (bon ça va quand on a dix ans...)

[inviteba4146d1]

Oui, je vois bien que la propriété est en accord avec le schéma traditionnel, donc un cas particulier, mais en contradiction avec la définition de la surjection non ?

[invite9dc7b526]

Peut-être que tu fais allusion au "principe des tiroirs" (en Anglais "pigeonhole principle") qui dit que si E et F sont des ensembles finis, tels que cardE>cardF et f une application de E dans F, alors il y a au moins un élément de F qui a au moins 2 antécédents ? (mais attention, f n'est pas nécessairement surjective).

[inviteba4146d1]

j'ai envoyé la photo de l'exercice et de son corrigé. Je ne sais pas si elle apparait déjà sur le forum. Il s'agit de dénombrer toutes les applications surjectives. Je me demande si la définition de la subjectivité citée dans la correction est juste.

[Médiat]

Bonjour,

Ce n'est pas la "définition de la surjection" mais son application dans un cas très particulier, que vous avez très mal exposé dans votre 1er message, d'où la perte de temps pour tout le monde !

[inviteba4146d1]

Mes plus plates excuses modérateur. Je n'ai qu'un très très modeste niveau en mathématique et je souhaite progresser. Si j'avais connaissance de la solution au problème initialement, je ne l'aurais pas proposé

En quoi s'agit-il d'un cas particulier je vous prie ?

[gg0]

Voyons Jean-Luc !

Avec un minimum de réflexion personnelle sur l'énoncé avant de lire le corrigé, tu aurais compris tout de suite : Si on fait une surjection d'un ensemble à 3 éléments {a,b,c} sur un ensemble à 2 éléments {1,2} alors 1 a au moins un antécédent, disons a, et 2 a au moins un antécédent, disons b, et c a pour image soit 1, soit 2, disons 2. Alors il y a un élément qui a 2 antécédent et tous les autres 1 seul. Car n+1 c'est 1 de plus que n.

C'est un peu surprenant d'être obligé de dire de telles évidences. Mais c'est fréquent quand les apprenants apprennent des corrections d'exercices sans essayer de les faire. Ce qui est plus surprenant, c'est que tu prennes une phrase d'un corrigé d'exercice pour une définition. Les définitions sont dans les cours, pas dans les exercices. Et les exercices sont faits pour apprendre et comprendre mieux les définitions et théorèmes.

Cordialement.

[inviteba4146d1]

L'évidence pour certains, ne l'est pas forcément pour les autres, d'autant que vous avez une longue expérience en la matière. Je suppose que vous n'avez pas réinventé la roue ni les mathématiques, donc vous vous basez sur l'existant et les milliers d'années d'expérience de vos prédécesseurs.

Face a des problèmes que me semblent a la base inextricables, je m'efforce de décortiquer les corrections.
Merci de votre aide et de votre patience.

Bon l'idiot du village persévère.
Dans le cas général si j'ai bien compris ce problème de nombre de surjection doit être résolu par la formule du crible de Poincaré.
Dans ce cas particulier (n+1,2) représente le nombre d'antécédents possibles pour l'unique image à 2 antécédents ( il y en a n) et (n-1)! représente les éléments restants de l'ensemble F. C'est bien cela ?

Cordialement

[gg0]

Non, je n'ai pas réinventé la roue, ni les bases des mathématiques. Mais comme la plupart des gens, je suis capable de trouver la solution d'un exercice sans lire la solution. Je cherche à comprendre ce qui se passe, j'ai appris et je connais les définitions et théorèmes essentiels. Ce qui donne à pas mal de questions un degré d'évidence (par exemple que ce qui est dit dans cette correction n'est pas la définition de "surjectif" puisque la définition est autre).
Pour ta question, encore une fois il te suffit d'appliquer les règles : " (n+1,2) représente le nombre d'antécédents possibles pour l'unique image à 2 antécédents" ?? Pourquoi ? As-tu essayé de voir comment fabriquer une fois et une seule chacune des surjections ? Ce qui permet de les compter. Comment ferais-tu ?


Cordialement.

[inviteba4146d1]

Bien. Merci pour le lien de l'éditeur Latex en ligne. Tout comme toi, je ne cesse de répéter à mes (très jeunes) élèves, qu'il faut partir du cours pour arriver aux exercices. Cette fois, je suis de l'autre coté de la barrière. . Tu ne me fera pas croire que tu n'a jamais été face a un problème qui t'as complètement bloqué. Soit tu es un parfait génie des mathématiques, soit tu as de sérieux problèmes avec la modestie...
Prenons un cas extrême : Tu diras "Le théorème de Fermat...bah facile...je l'avais démontré il y a belle lurette, mais bon il fallait bien laisser au petit Wiles sa chance...donc inutile de voir comment il a procédé !"

A une échelle plus modeste, on peut bien être confronté à des problèmes qui nous bloquent totalement non ?

Et en ce moment j'avoue humblement que c'est très souvent le cas pour moi. Cela induit une certaine compassion par rapport aux difficultés rencontrées par les élèves.

Pour ces problèmes d'ensembles, je pense avoir besoin d'un outil de visualisation clair (on revient à la remarque de réinventer la roue: un tel outil existe-t-il ?) On dira aussi que mes (très) maigres notions de combinatoire remontent à une bonne vingtaine d'années. Est ce là le soucis ?

Voilà ce que j'ai ( tout cela me parait très pénible !)

Photo du 28-05-2015 à 11.29.jpg
Photo du 28-05-2015 à 11.29 #2.jpg

Cordialement

[gg0]

Effectivement,

je bloque souvent sur des questions de maths. Mais je fais ce que je conseillais à mes élèves (c'est vieux !), ou lorsque j'ai préparé l'agreg interne après 20 ans d'enseignement : je cherche à comprendre de quoi il est question, je reprends mes cahiers ou mes livres pour revenir aux définitions, je fais des dessins, des schémas. Par exemple, à mon époque d'apprentissage, on aimait bien représenter les ensembles par des "patates", les fonctions par des flèches. Pour injection et surjection, on rajoutait des croix dans les patates pour représenter les éléments, et on avait toujours au mins une pointe de flèche sur chacun des points de l'ensemble d'arrivée. Ça ne suffit pas pour traiter de la surjectivité des applications linéaires, mais ça permet d'avoir une idée pour ton cas.
D'ailleurs, je n'ai jamais fait l'exercice que tu sembles faire (j'ai horreur du dénombrement, mais je me force quand c'est nécessaire). Mais j'ai tout de suite vu les deux patates, avec n+1 flèches qui partent de la première, et arrivent en touchant tous les éléments de la deuxième. Comme il y en a n, il y a 2 flèches qui arrivent au même endroit (principe des tiroirs).
Pour la suite, la bonne question n'est pas "pourquoi le calcul donne-t-il cela ?", mais "Comment puis-je faire seul ?". Je t'ai donné une méthode de calcul des dénombrements en essayant de les construire tous, une fois et une seule. Pour des cas simples, comme ici, ça marche bien. Au passage, on utilisera évidemment les outils classiques (p-listes, arrangements, combinaisons) quand ils apparaissent.

Pour l'instant, je ne peux pas lire tes pièces jointes.

Cordialement.