Surjection dm.

**topmath** · 11/02/2014, 11h46

Bonjour à tous :Je connais la définition de la surjection mais voilà je ne sais pas si cette réponse est juste à ma propre question ?

Question : Peut on dire que $\text{[math]}$ est surjectif de $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ ?
Repense:J'applique bêtement la définition quelque soi $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ alors f est surjective.

Merci d'avance de m'orienter .

**PlaneteF** · 11/02/2014, 11h56

Bonjour,

Envoyé par topmath

telque $\text{[math]}$ alors f est surjective.

Pour que ta définition ait un sens, il faut écrire : $\text{[math]}$

Maintenant, en écrivant cela, tu ne fais qu'écrire formellement une définition de la surjection, mais tu ne justifies rien. Il faut justifier l'existence d'un tel $\text{[math]}$ (la justification est simplissime, mais il faut quand même la faire).

Cordialement

**topmath** · 11/02/2014, 18h45

Bonsoir à tous :
Salut PlaneteF:

Envoyé par PlaneteF

Bonjour,
Pour que ta définition ait un sens, il faut écrire : $\text{[math]}$

Maintenant, en écrivant cela, tu ne fais qu'écrire formellement une définition de la surjection, mais tu ne justifies rien. Il faut justifier l'existence d'un tel $\text{[math]}$ (la justification est simplissime, mais il faut quand même la faire).

Cordialement

Alors dans la démonstration précédente je modifie uniquement $\text{[math]}$ en la remplaçant par $\text{[math]}$ si j'ai bien compris ainsi ?
Repense:J'applique bêtement la définition quelque soi $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ telque $\text{[math]}$ alors f est surjective.

Cordialement

**PlaneteF** · 11/02/2014, 18h49

Envoyé par topmath

Alors dans la démonstration précédente (...)

Tu n'as lu mon message qu'à moitié, ... je te disais justement que ce n'était pas une démonstration, mais juste l'écriture formelle d'une définition !

Cdt

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**topmath** · 11/02/2014, 18h53

Merci encore PlaneteF je vais essayer de la refaire .

Cordialement

**PlaneteF** · 11/02/2014, 18h58

Envoyé par topmath

Merci encore PlaneteF je vais essayer de la refaire .

N.B. : Pour montrer qu'un tel $\text{[math]}$ existe, il suffit d'en exhiber un en précisant pourquoi il existe.

Cdt

**topmath** · 11/02/2014, 19h07

Ok je vais tenter ça Merci .

Cordialement

**gg0** · 11/02/2014, 19h49

Topmath,

pour bien montrer que ce que tu as fait n'est en rien une preuve, voici une rédaction du même style. On a un triangle rectangle ABC et on écrit :
"les trois angles sont égaux alors ABC est équilatéral"
On voit bien ici que c'est absurde, puisqu'un triangle rectangle n'est pas équilatéral.
Oui mais "J'applique bêtement la définition". Eh oui, agir bêtement fait faire des bêtises

une définition ou un théorème s'applique intelligemment : Si on a dans les hypothèses ou prouvé les propriétés qui définissent, on peut appliquer la définition.

NB : "Repense" veut dire "pense à nouveau. Rien à voir avec réponse.

Cordialement.

**topmath** · 16/02/2014, 15h54

Bonsoir à tous :

Envoyé par PlaneteF

N.B. : Pour montrer qu'un tel $\text{[math]}$ existe, il suffit d'en exhiber un en précisant pourquoi il existe.

Cdt

J'arrive toujours pas à saisir cette démonstration , s'il y'a une démonstration plus détailler ça sera idéale merci d'avance .

Cordialement

**PlaneteF** · 16/02/2014, 16h20

Bonjour,

Envoyé par topmath

J'arrive toujours pas à saisir cette démonstration , s'il y'a une démonstration plus détailler ça sera idéale merci d'avance .

Soit $\text{[math]}$

A partir de là, la question est très simple : Existe t-il au moins un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

Donc cela revient à résoudre une équation de 2nd degré en $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ comme paramètre.

Si cette équation admet au moins une solution dans tous les cas de figure (c'est-à-dire quel que soit $\text{[math]}$ ), alors la fonction est bien surjective.

Cdt

**topmath** · 16/02/2014, 16h47

Bonsoir planeteF:

Envoyé par PlaneteF

Bonjour,

Soit $\text{[math]}$

A partir de là, la question est très simple : Existe t-il au moins un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

Donc cela revient à résoudre une équation de 2nd degré en $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ comme paramètre.

Si cette équation admet au moins une solution dans tous les cas de figure (c'est-à-dire quel que soit $\text{[math]}$ ), alors la fonction est bien surjective.

Cdt

On suppose que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ est surjective c'est ce que je pense , je ne sais pas si c'est juste ou faut merci .

Cordialement

**PlaneteF** · 16/02/2014, 17h05

Envoyé par topmath

On suppose que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ est surjective c'est ce que je pense , je ne sais pas si c'est juste ou faut merci .

Non, c'est faux, tu écris nimpe

... Relis plus attentivement mon message précédent.

Cdt

**gg0** · 16/02/2014, 17h24

Bonsoir Topmath.

Reprenons à la base. D'après la définition, pour prouver que f : E-->F est surjective, tu dois montrer que quel que soit y dans F, y est une image.
Du fait que y doit être n'impote quel élément de F, soit tu les testes tous (possible si F est un ensemble fini de petite taille), soit traiter le cas général, en prenant unre lettre (variable).
Comme ici, l'ensemble d'arrivée n'est pas fini, tu pars de :
Soit y dans ...
Puis tu démontres que y est une image.

C'est tout bête, il faut simplement s'y mettre. On faisait faire ça (sur des cas simples) en collège vers 1970.

Bon travail !

**topmath** · 17/02/2014, 16h30

Bonsoir à tous :

@PlaneteF:

Envoyé par PlaneteF

Bonjour,

Soit $\text{[math]}$

A partir de là, la question est très simple : Existe t-il au moins un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

Donc cela revient à résoudre une équation de 2nd degré en $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ comme paramètre.

Si cette équation admet au moins une solution dans tous les cas de figure (c'est-à-dire quel que soit $\text{[math]}$ ), alors la fonction est bien surjective.

Cdt

@gg0:

Envoyé par gg0

Bonsoir Topmath.

Reprenons à la base. D'après la définition, pour prouver que f : E-->F est surjective, tu dois montrer que quel que soit y dans F, y est une image.
Du fait que y doit être n'impote quel élément de F, soit tu les testes tous (possible si F est un ensemble fini de petite taille), soit traiter le cas général, en prenant unre lettre (variable).
Comme ici, l'ensemble d'arrivée n'est pas fini, tu pars de :
Soit y dans ...
Puis tu démontres que y est une image.

C'est tout bête, il faut simplement s'y mettre. On faisait faire ça (sur des cas simples) en collège vers 1970.

Bon travail !

On tout cas d’après les conseilles commun (en rouge ci haut) de PlaneteF et gg0 :

Solution proposé :

$\text{[math]}$ Surjectif : $\text{[math]}$ Nous cherchons un élément $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .Le réel est $\text{[math]}$ convient ! je ne sais si c'est juste ou faut merci d'avance pour votre correction .

Cordialement

**gg0** · 17/02/2014, 16h41

Ben ... à ton avis,

est-ce que f(x) vaut bien y ? Est-ce qu'il existe, d'ailleurs ?

maintenant, une rédaction précise, simple suffit. A toi de la faire.

Cordialement.

**PlaneteF** · 17/02/2014, 16h42

Bonjour,

Envoyé par topmath

Solution proposé :

$\text{[math]}$ Surjectif : $\text{[math]}$ Nous cherchons un élément $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .Le réel est $\text{[math]}$ convient ! je ne sais si c'est juste ou faut merci d'avance pour votre correction .

Oui, un tel $\text{[math]}$ existe bien (compte tenu du domaine de définition de $\text{[math]}$ ) et convient bien. A noter que dans le cas où $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ a toujours 2 antécédents, ce qui fait que cette fonction n'est pas injective (et donc pas bijective).

Cdt

Edit : Croisement avec gg0 !

**topmath** · 17/02/2014, 17h08

Bonsoir à tous suite à:

Envoyé par gg0

Ben ... à ton avis,

est-ce que f(x) vaut bien y ? Est-ce qu'il existe, d'ailleurs ?

maintenant, une rédaction précise, simple suffit. A toi de la faire.

Cordialement.

A mon avis y est un élément de l'ensemble d'arrivée qui est $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ qui n'est autre qu'une fonction qui transforme tout élément de $\text{[math]}$ en élément appartenant à $\text{[math]}$ .

@PlaneteF: effectivement $\text{[math]}$ n'est pas injective du point de vue géométrique $\text{[math]}$ est une parabole ou $\text{[math]}$ est l'axe de symétrie donc pour deux éléments différent de $\text{[math]}$ on a les même images dans $\text{[math]}$ ce qui contre dit la définition de l'injection de $\text{[math]}$ .

Merci PlaneteF, et gg0 pour ces détaille précieux .

Cordialement

**gg0** · 17/02/2014, 21h22

J'espérais une rédaction effective et complète de la preuve.

**pallas** · 18/02/2014, 09h37

resous simplement l'équation D'inconnue x ( dans R) : y=x²+5 avec y>=5 !!

**topmath** · 21/02/2014, 20h20

Bonsoir à tous :

Envoyé par pallas

resous simplement l'équation D'inconnue x ( dans R) : y=x²+5 avec y>=5 !!

je crois que ça étais fait (en rouge dans mon message #14)

Envoyé par topmath

Bonsoir à tous :

Solution proposé :

$\text{[math]}$ Surjectif : $\text{[math]}$ Nous cherchons un élément $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .Le réel est $\text{[math]}$ convient ! je ne sais si c'est juste ou faut merci d'avance pour votre correction .

Cordialement

cordialement

**gg0** · 21/02/2014, 23h19

Je t'avais proposé de faire une rédaction simple, précise, de la question globale, tu ne l'as jamais faite.
Pourquoi répondrais-je à des détails dont je ne sais pas à quoi ils se rapportent.

Dire "le réel .. convient" est une affirmation. Il est d'usage, en maths, de rédiger des preuves.

**topmath** · 22/02/2014, 09h46

Bonjour à tous :

Envoyé par gg0

Je t'avais proposé de faire une rédaction simple, précise, de la question globale, tu ne l'as jamais faite.
Pourquoi répondrais-je à des détails dont je ne sais pas à quoi ils se rapportent.

Dire "le réel .. convient" est une affirmation. Il est d'usage, en maths, de rédiger des preuves.

Effectivement j'ai pas rédiger une preuve , pour la simple raison du monde que je bloque sur cette rédaction , j’attends un exemple si possible et merci d’avance ;

Cordialement

**gg0** · 22/02/2014, 10h01

Alors voici un exemple, avec la fonction
$\text{[math]}$ définie de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Soit y un élément de l'ensemble d'arrivée $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ (1)
Donc tout élément de $\text{[math]}$ est l'image par f d'un élément de l'ensemble de départ $\text{[math]}$ , f est surjective.

J'ai détaillé le raisonnement, qu'on peut raccourcir, mais un élément essentiel est la preuve (1). Même si c'est très simple, il faut cette preuve, pas seulement la copie de la définition.

Cordialement.

**topmath** · 23/02/2014, 16h09

Bonsoir maintenant avec cette preuve , la démonstration est claire merci infiniment gg0.

Cordialement

**topmath** · 24/02/2014, 18h50

Bonsoir à tous : J'ai vu d'autre démonstration utilisant le terme antécédent pour la démonstration de la surjection , pouviez vous me donner une pour ce cas précis et merci d'avance .

Cordialement

**gg0** · 24/02/2014, 19h19

Je ne comprends pas trop;

mais x est un antécédent de y par f si y est l'image de x par f (donc dans les deux expressions, y=f(x)). Ce n'est qu'une autre façon de relier x à y.

Cordialement.

**topmath** · 24/02/2014, 19h34

Bonsoir :Salut gg0 j'ai suivie une vidéo qui démontre la surjection on utilisant aussi le vocabulaire antécédent , on toute sincérité je suis entrain de refaire toute l’Algèbre de base pour cela j'aimerai varier les démonstration sinon la première est aussi suffisante encore merci gg0.

Cordialement

**gg0** · 24/02/2014, 19h43

Voici la preuve du message #23 réécrite avec "antécédent" :

$\text{[math]}$ définie de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ .

Soit y un élément de l'ensemble d'arrivée $\mathbb R$ . $y=\big(\sqrt[3]y\big)^3=f(\sqrt[3]y)$ (1)
Donc tout élément de $\mathbb R$ a pour antécedent par f un élément de l'ensemble de départ $\mathbb R$ ; f est surjective.

Cordialement.

**topmath** · 24/02/2014, 19h52

Merci gg0 maintenant tout est claire .

Cordialement

**PlaneteF** · 24/02/2014, 21h38

Bonsoir topmath,

Envoyé par topmath

(...) j'aimerai varier les démonstration (...)

La démonstration proposée ici est la démonstration "classique" utilisant la définition "classique" de la surjection, et c'est clairement celle qu'il faut connaître et savoir utiliser en premier lieu. Maintenant puisque tu évoques toi-même de "varier" les démonstrations, il existe d'autres définitions de la surjection qui sont équivalentes.

Par exemple, une fonction $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ est surjective si et seulement si elle est inversible à droite ^(*), c'est-à-dire s'il existe une fonction de $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ , telle que $\text{[math]}$ .

Dans ton exemple, en prenant la fonction $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ , il est facile de vérifier que $\text{[math]}$ , et donc que $\text{[math]}$ est bien surjective.

Pour aller un peu plus loin, juste pour ta curiosité si tu ne connais pas ces choses là, on peut voir une surjection comme un épimorphisme de la catégorie des ensembles Ens (ou Set en anglais), à savoir une flèche (ou un morphisme), ici une application ( $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ ), simplifiable à droite, c'est-à-dire : Pour toutes applications $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Surtout ne t'embrouille pas avec ces 2 autres définitions si tu n'es pas totalement à l'aise avec la définition "classique" (surtout la 2e, car même sans mentionner la notion de catégorie, je ne sais pas si cette définition est vue au début de l'enseignement Supérieur ?), ... En fait c'était juste pour te montrer qu'il y a d'autres façons de voir la surjection (idem injection et bijection) qui peuvent être plus utiles dans d'autres circonstances que ce simple exercice.

^(*) N.B. : Le sens $\text{[math]}$ est équivalent à l'axiome du choix.

Cordialement

Surjection dm.

Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

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Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

Re : Surjection dm.

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