Une équa-diff bien compliquée à résoudre...

[Nicolas1569]

Bonjour,

Suite à un problème de physique, je suis amené à résoudre cette équation différentielle :



où et sont des constantes connue

Les conditions initiales sont les suivantes :


où d est une constante

Je ne sais pas comment m'y prendre pour résoudre cette équation, merci de votre aide !
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[Universus]

Bonjour,

Il y a une approche générale pour attaquer une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 de la forme :

On écrit et on note que , de sorte que ; il s'agit d'une équation différentielle ordinaire d'ordre 1. Une fois une solution obtenue à cette équation, nous pouvons tenter de résoudre .

Remarque : Cette technique (remplacer une équation d'ordre 2 par deux équations d'ordre 1) rappelle hautement le passage de l'approche lagrangienne à l'approche hamiltonienne en mécanique classique (j'imagine que vous êtes familier avec ce contexte tiré de la physique).

Dans votre cas, la première étape de cette approche est simple, mais la seconde est compliquée. Cependant, vos conditions « initiales » posent de grandes contraintes ici, puisqu'elles sont plus « qu'initiales », elles sont spécifiées partout dans le passé de l'instant t=0. Elles forcent donc des solutions très simples. Dans le spoiler ci-dessous, j'explicite ma démarche, mais vous devriez vous en sortir sans avoir à la consulter.

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Ici, , d'où . L'équation s'écrit encore et se solutionne aisément, donnant quelque chose de la forme .

Là où ça se complique, c'est à l'équation . La vitesse est constante lorsque , donc lorsque ; or, si V n'est pas nul ou si B n'est pas nul, l'équation est fausse. Si V est nul, alors il faut C nul et x(t)=x(0) ; si B est nul, alors C=V et x(t)=Vt+x(0) partout.

[Nicolas1569]

Merci Universus pour ta réponse bien détaillé!

Je suis arrivé au même point par une autre méthode (simplement en divisant l'équation initiale par et en intégrant, ce qui interdit également de considérer une vitesse nul).
J'ajouterais que cette équation n'est valable que pour et que le problème commence à , avec et . et sont non nul.

La constante vaut donc , et l'équation est :

Quelqu'un aurait-il une méthode pour résoudre cette équation ?

[plaxtor]

A mon avis il n'y a pas de solutions exprimable à l'aide de fonction usuelles.. Par curiosité, d'où tires-tu cette équation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[eudea-panjclinne]

Quelqu'un aurait-il une méthode pour résoudre cette équation ?

C'est une simple intégrale :

[Nicolas1569]

Par curiosité, d'où tires-tu cette équation ?

Plaxtor, cette équation provient du problème physique suivant :

Une boule infiniment rigide de rayon R et masse connue se déplace à la vitesse constante Vi. A un instant t=0 elle rentre en contact avec un matériaux (choc mécanique !), à partir de là, elle pénètre légèrement dans le matériaux. Je cherche à déterminer la pression que cette boule exerce sur la surface du matériau.
Pour trouver la pression (P=F/S) je cherche à calculer la force F avec laquelle elle rentre dans le matériaux, cette force étant proportionnelle à l'accélération de la boule (ou plutôt sa décélération dans ce cas précis, F=ma). Je considère également que le matériaux exerce sur la boule une fore de frottement visqueux du type : F_f=1/2 CρSV². Mais dans mon cas, la surface S (qui est la section droite perpendiculaire au mouvement) est variable, fonction de x (x étant la position du point de la surface de la boule qui est rentré le plus profondément dans le matériaux).
Après application du PFD, on obtient l'équation différentielle en question.


eudea-panjclinne, avec cette intégrale je trouverais le temps au bout duquel la boule sera rentré d'une longueur X dans le matériaux. Je cherche à calculer x(t).
J'ai tout de même essayé de calculer cette intégrale, mais sans grand succès, tout ce que j'obtient est la forme suivante :



Quoi qu'il en soit, je cherche toujours l'expression de x(t)

[eudea-panjclinne]

Si les constantes sont déterminées numériquement, une solution consiste à calculer par approximation cette intégrale avec un programme informatique et d'extraire x en fonction de t par une méthode de dichotomie ajoutée au programme précédent.
Une autre solution consiste à travailler par approximation sur l'équation différentielle précédente et ainsi d'obtenir directement x en fonction de t.