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Résoudre numériquement une EDP (equa. diff. partielle)



  1. #1
    UCLEPLstudent

    Résoudre numériquement une EDP (equa. diff. partielle)


    ------

    Bonjour, je viens vous demander votre aide à propos d'une EDP à résoudre numériquement (MATLAB). La plupart du temps j'arrive à m'en sortir avec le syllabus du cours, mais là je ne vois pas trop comment m'y prendre. je sais vaguement d'après ce que le professeur a raconté qu'il faut obtenir des équations discrètes à résoudre. Mais je ne vois pas trop comment obtenir celles-ci (à l'aide de différences finies). Enfin on aura donc un système d'équations non-linéaires à résoudre, mais quelle méthode utiliser (Point fixe ou Newton-Raphson?). Auriez-vous une/des pistes pour la façon de procéder? Merci, voici l'exercice :


    Sur un carré de côté deux centré à l’origine, on
    discrétise l’équation suivante avec des différences
    finies et un maillage de (2n + 1) × (2n + 1) noeuds.

    ∂/∂x (k(u)*∂u/∂x) + ∂/∂y (k(u)*∂u/∂y) = 0

    (déso je gère pas trop LaTeX)

    où k(u) = (400 + u²). Sur les demi-côtés inférieur
    gauche et gauche inférieur, u(x, y) = . Sur le
    reste de la frontière, u(x, y) = 0. Afin d’illustrer le
    problème, les isocourbes de u sont données lorsque
    k = 1 : le problème se réduit alors à une simple
    équation de Laplace. (voir figure)
    En utilisant une méthode numérique de votre choix,
    il s’agit de déduire la valeur de telle que la valeur
    au centre du carré u(0, 0) = 10.

    Plus précisément, on vous demande de :
    1. Ecrire une fonction gamma = superfish(n) qui donne pour un maillage (2n + 1) × (2n + 1),
    2. Attention : il faut un maillage suffisamment raffiné (n assez grand) pour obtenir un résultat cohérent! Soyez donc attentifs au résultat obtenu...
    3. Cette fonction produira les isocourbes de u et de k(u) sur le carré.
    4. Votre fonction (avec les éventuelles sous-fonctions que vous auriez créées) sera incluse dans un
    unique fichier. Cette fonction devra être soumise électroniquement via le web avant le lundi 28 décembre à 23h59.
    5. La pondération de ce dernier problème sera double (0.5/20). Il serait donc dommage de négliger de le faire !

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