Matrices et polynômes annulateurs
Bonjour,
J'ai un peu de mal à comprendre la correction d'un exercice. Comme je ne sais pas écrire en Latex, je vous envoie directement le lien :
http://mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/R%C...annulateur.pdf
Il s'agit de l'exercice 5. Dans la correction, je n'arrive pas à comprendre pourquoi la multiplicité des valeurs propres est égale à la dimension des noyaux.
Et puis je ne vois pas pourquoi la matrice A est semblable à la matrice donnée (je ne comprend pas d'où vient le 2I+M).
Merci
* Shoot for the moon. Even if you miss, you'll land among the stars *
Salut,
les vp sont 2 et 0 donc A est trigonalisable avec des 0 et des 2 sur la diagonale.
La trace de A vaut 8, donc forcement 2 est de multiplicité 4 et 0 est de multiplicté ce qui reste (ie : n-4).
0 est de mulitplicité n-4, donc dim(KerA) = n-4
A s'ecrit donc de la forme donné dans la correction. (trigonale avec unc ertain M)
M^2=0 car dim(Ker(A-2I)^2)=4 (par supplementarité ). (réécris A-2I, eleve au carré, et regarde le ker de cette matrice. Tu observeras que M^2=0
Bref j'ai essayé de réécrire (en moins joli) la correction. J'espere que ca t'aidera à comprendre ce qui se passe.
Bonjour,
Pourquoi ? Tout ce qu'on sait c'est que dim(ker A) est inférieur ou égal à la multiplicité de 0. Je ne vois pas pourquoi il y a égalité :/Envoyé par cleanmen
D'accord pour la suite, merci encore
* Shoot for the moon. Even if you miss, you'll land among the stars *
Les vecteurs non nuls de Ker A sont des vecteurs propres. Pour quelle valeur propre ?
Pour 0, mais je ne vois toujours pas pourquoi ça nous donne l'égalité.
* Shoot for the moon. Even if you miss, you'll land among the stars *
A est trigonalisable car tu as un poly annulateur de A scindé. De plus sur les racines du poly annulateurs sont 0 et 2 donc Sp(A) est inclus dans {0,2}.
Jusqu'a présent tu sais donc que A est similaire à une matrice trigonale avec des 0 et des 2 dedans (tu ne sais pas encore cb de 0 et combien de 2).
On sait aussi que tr(A)=8. Et tu sais que la trace de A est la somme des elements de la diagonale de la matrice trigonale; ie : somme de 0 et de 2.
La seule manière pour que tr(A)=8 est qu'il y ait 4 fois 2 dans la diagonale, et n-4 fois 0.
