polynômes et matrices

[invite0f0e1321]

Bonjour, j'ai un petit problème avec l'exo suivant:
Soit (Un) la suite récurrente d'ordre 3 définie par pour tout n appartenant à N et par (u2,u1,u0)=(4,1,2)
1) montrer que pour tout n de N:
= (1, 1, -1; 1,0,0; 0,1,0)=
Cette question là est évidente, c'est bon (je n'ai pas réussi à faire une matrice 3x3 , donc j'ai séparé les lignes par ; )
2) Soit A la matrice carrée qui intervient ci dessous
a)Montrer que por b réel rg(A-bI_3)<3 <=> P(b)=0 avec P=X^3-X²-X +1.
Vérifier que P est un polynôme annulateur de A
cette question là c'est bon
b) Soit n un entier naturel, on montrer qu'il existe u unique couple (Q,R) de polynômes tels que:
X^n=Q(X)P(X)+R(X) avec deg(R)<3 (division euclidienne). Déterminer le polynôme R.
C'est là que je bloque... j'ai cherché le reste pour n=0,1,2,3,4 mais je en vois pas...
c) En déduire A^n en fonction de n pour tout n de N
3) Mntrer que pour tout n de N:
=A^n
merci d'avance pour votre aide
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[matthias]

b) Soit n un entier naturel, on montrer qu'il existe u unique couple (Q,R) de polynômes tels que:
X^n=Q(X)P(X)+R(X) avec deg(R)<3 (division euclidienne). Déterminer le polynôme R.
C'est là que je bloque... j'ai cherché le reste pour n=0,1,2,3,4 mais je en vois pas...

C'est pourtant juste la division euclidienne de Xⁿ par P.
P étant de degré 3, tu ne devrais déjà pas avoir trop de mal pour n=0,1,2

[invite6b1e2c2e]

C'est marrant cette mani&#232;re de voir le polyn&#244;me caract&#233;ristique sans le dire. Vous l'avez pas fait ?

__
rvz

[invite0f0e1321]

A force de chercher je crois que j'y arrive mais mon résultat dépend de la parité de n, est-ce normal?
J'ai utilisé le fait que P(1)=P(-1)=P'(-1)=0
et en posant R=aX^2+bX+c, j'obtiens le système suivant:
a+b+c=1
a-b+c=(-1)^n
-2a+b=n(-1)^(n-1)
En résolvant le système, je trouve:
Rn=(n/2)X^2+1-(n/2) si n est pair
Rn=((1-n)/2)X^2+X+(n-1)/2 si n est impair

Je réponds alors à la question c en remplaçant X par A mais pour la question 3 je bloque
Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Euh, tu n'as pas de système à résoudre. Tu n'as pas vu la division euclidienne des polynômes ?

[invite0f0e1321]

Non, je suis en prépa bio et c'est pas au programme...

[matthias]

Bon alors je te donne un exemple:
divisons par .
Tu veux d'abord annuler le coefficient de plus haut degré () donc tu retranches (X au quotient donc).
Il te reste . Tu retranches pour annuler le terme en (donc +3 au quotient).
Il te reste -5X-8 qui est de degré inférieur à celui de donc tu as fini.

Tu obtiens finalement:


Si tu veux diviser un polynôme P1 de degré n par un polynôme P2 de degré p (avec p > n), tu trouves tout naturellement : P1 = 0xP2 + P1. Ceci explique la remarque que j'avais faite pour n=0,1,2 dans ton problème.