Matrices & Polynômes

[invite39ac77b7]

Bonjour ,
Voilà l'énoncé suivant:
Soit n>(ou =) 2. On considère l’application:
u: R_n [X]---> R_n [X]
P---> P(X+1)+P(X-1)-2P

[Attention: P(X+1) (resp. P(X-1)) désigne le polynôme PoQ où Q= X+1 (resp. Q=X-1)
1) Vérifier que u est un endomorphisme de R_n [X]
2) On suppose que n=2.
(a) Déterminer où est la base canonique de R_n [X].
(b) Quel est le rang de u ? Déterminer Im u et Ker u
3) Mêmes questions pour n=3.
4) On revient maintenant au cas où n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.
(a) Déterminer Im u. En déduire le rang de u.
(b) Déterminer Ker u.
(c) Soit Q∈ Im u. Monter qu'il existe P∈R_n [X] unique tel que u(P)=Q et P(0)= P'(0)=0.

Ma réponse:
1) J'ai réussi à la faire
2)a) J'ai besoin d'indice pour commencer
de même pour la suite SVP
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[invite204ee98d]

Bonjour, je ne suis pas expert mais déjà tu dois te placer dans la base canonique qui ici est (1, X, X²) et tu calcules l'image de polynomes par cette base, tu en deduis la matrice car chaque colonne correspond à l'image d'un polynome par ton application. Enfin je crois.


Au revoir.

[invite204ee98d]

Si tu préfères, calcule les images des polynomes suivants: 1 , X et X² par ton application.

Par exemple pour 1: tu auras l'image qui est: 1(x+1)+1(x-1)-2=2x-2 et etc.... tu obtiens ainsi la matrice

[invite204ee98d]

As tu compris ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39ac77b7]

Je pense que ouiii Merci dalfred
Je te confirme très bientôt

[invite204ee98d]

En fait je viens de voir que P(X+1) ce n'était pas le polynome fois (X+1) mais P o un autre polynome donc fais attention avec 1 ca ne donne pas ce que je t'ai dit (enfin si j'ai bien compris ?)

[invite39ac77b7]

pourquoi la base (1, X, X²)?

[invite204ee98d]

notre professeur nous a dit que c'etait la base canonique pour les polynomes apres je sais pas trop pourquoi. Peut etre car tout polynome s'ecrit sous la forme suivante:

a1 + a2 X+ a3 X² +.....

[invite204ee98d]

C'est pas plutot pour n inferieur ou egal a 2 ? car sinon je ne vois comment ecrire la matrice car tu devrais te placer dans la base suivante: (X², X^3, X^4,..., X^n) avec n appartenant à N

[invite39ac77b7]

non c'est bien pour n supérieur ou égal à 2

[invite204ee98d]

Dans ce cas je sais pas trop en fait