Représenter graphiquement une variable à densité somme de deux autres

[invite1bf22c0f]

Bonjour !

Voilà, je me demandais s'il n'y avait pas un moyen simple de représenter graphiquement la probabilité d'une variable aléatoire à densité définie en fonction de 2 autres.
Par exemple: Z= X + Y ou W= X - Y, avec X et Y deux variables aléatoires dont on connait une densité et la fonction de répartition.

Lorsque que l'on cherche une probabilité telle que P(Z<a), soit P(X+Y<a), comment peut on la représenter graphiquement ?

Je suppose qu'il faut tracer sur un graphique les fonctions de répartition de X et Y. Mais comment tracer celle de X + Y ou X - Y ?

Merci d'avance pour vos réponses !
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[gg0]

Bonjour.

Pour les fonctions de répartition, c'est délicat. Pour les densités, tu as la formule classique au cas où X et Y sont indépendantes ( où * est le produit de convolution). Mais ça ne donne pas une représentation sans calculs. Et si X et Y ne sont pas indépendantes, il faut connaître la loi de (X,Y).

En aucun cas il n'y a de règle simple générale. Regarde ce qui se passe pour X="résultat du jet d'un dé parfait", Y="1 si une pièce fait Pile, 0 sinon", Z="1 si le dé est pair, 0 sinon ", le dé et la pièces étant sans lien. Tu noteras que Y et Z ont la même loi, X+Y et X+Z n'ont pas la même loi.

Cordialement.

[invite1bf22c0f]

Merci gg0 pour ta réponse,

Dans le cadre où X et Y seraient 2 variables indépendantes dont on connait les lois ainsi qu'une densité f_(X,Y), comment pourrait-on faire le lien entre ces données et P(X + Y < ou > a) ou P(X - Y > ou < a) ?

Faut-il forcement calculer les fonctions de répartitions de X+Y et X-Y ou y a t-il une solution qui puissent émerger de l'utilisation de ces données ?

[invite9dc7b526]

Je ne connais pas de méthode graphique qui permette de représenter un produit de convolution sans faire de calculs. Si tu veux avoir une idée de la solution, tu pourrais faire de la simulation et dessiner un histogramme.

Par exemple, dans le cas que tu as exposé sur l'autre fil, si X et Y sont uniformes sur [0,1], sous R tu peux faire:

X<-runif(100000)
Y<-runif(100000)
hist(X+Y,nclass=50)

ça devrait te dessiner un triangle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Tiens, voici le triangle :

[invite1bf22c0f]

Merci minushabens !

Donc il faut bien connaître la densité de X+Y ou X-Y.

[invite9dc7b526]

Si Y ~ U[0,1] alors 1-Y ~ U[0,1] et donc X-Y a la même loi que X+Y-1, c'est le même triangle mais décalé d'une unité vers la gauche.

[invite1bf22c0f]

Merci encore,

Une dernière question: Pour étudier graphiquement une probabilité telle que P(X+Y<a) par exemple, ne serait-il pas plus utile d'étudier la fonction de répartition ?