Représentants des classes de l'action de SU(2) sur SU(N+1): Physique théorique

[invitea47ed71f]

Bonjour,
Je me pose en ce moment une question de physique théorique. J'ai une idée du résultat, mais je ne connais pas assez bien les outils pour la résoudre complétement.

Le problème:

SU(2) agit sur sa représentation irréductible de dimension N+1 (Je la note V), donc peut être considéré comme un sous groupe de SU(N+1).
Je m’intéresse aux classes à droite de l'action de SU(2) sur SU(N+1), ie à tous les ensembles U*SU(2) possibles, pour U dans SU(N+1).
Par exemple, j'aimerai bien trouvé un représentant de chaque classe.

J'ai l'impression qu'il y a (N+1)!/2 telles classes: en tout cas, il y en a au moins ce nombre.

En effet:

Si on prend pour base de V une base de Dicke (je vais très vite, mais je peux mieux expliquer ce que c'est!):
Avec mes notations de physicien, c'est |0>, |1>, ..., |N> ou |m> a un spin m selon dans la direction z (ie Sz |m> = m|m>: souvent la convention est d'aller de -N/2 à N/2 mais ici je vais de 0 a N).

On peut, pour chaque permutation p à N+1 éléments, définir la matrice de SU(N+1) qui transforme la base |0>, |1>, ..., |N> en la base |p(0)>, |p(1)>, ..., |p(N)>.

Alors seul 2 permutations sont dans SU(2): c'est la permutation identité et la permutation 0<->N, 1<->N-1, 2<->N-2, ...
(ça se fait bien)

Et à ces deux permutations près, toutes les permutations donnent des classes différentes.


Mon problème est de montrer qu'il n'y a pas d'autre classe.


Je ne sais pas trop comment faire ceci: est ce que la mesure de Haar permet de faire ce genre de chose? Je sais juste qu'elle existe, mais je n'ai vraiment jamais fait ce genre de chose...
Par exemple, est ce que vouloir démontrer que la mesure de Haar de SU(2) est 2/(N+1)! a un sens?
(en prenant la mesure de Haar de SU(N+1))) Je verrais bien un argument comme ça... Mais je ne sais pas faire!


Bon, je suis allé relativement rapidement n'étant pas sur que ça intéresse quelqu'un. Mais je peux être bcp plus précis!
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Qu'importe l'action (unitaire) précise de sur , c'est-à-dire qu'importe l'homomorphisme de groupes de Lie , l'image est un sous-groupe de Lie fermé, en particulier une sous-variété de . Le quotient est donc une variété de dimension . Or, une variété de dimension au moins 1 contient une infinité d'éléments.

[invitea47ed71f]

J'étais donc cplt à côté. Ne jamais laisser les maths aux physiciens!

On va voir si cette fois-ci je dis moins de bêtises:

Dans mon cas, j'ai dim(rho(SU(2)) = dim(SU(2))=3 vu que:
Les 3 générateurs élémentaires de SU(2) ("composantes du spin" Sx, Sy, Sz: une base de l'algebre de Lie de SU(2)) sont envoyés par rho sur les composantes du "spin total" qui font parti des générateurs de SU(N+1) et sont libres entre eux: du coup l'algebre de Lie de rho(SU(2)) est de dimension 3.

Donc j'ai qqch de dimension (N+1)^2 -4.

Merci bcp pour la réponse!
Je vais essayer de me débrouiller autrement.

(et promis, la prochaine fois, j'écris ça bien).