Automorphisme orthogonal

[invite6ab7b7b1]

Bonsoir,
Plaçons nous dans Mn(R) muni du produit scalaire .
Considérons l'endomorphisme .
Il faut trouver un condition nécessaire et suffisante pour que soit un automorphisme orthogonal.

En revenant à la définition d'un endomorphisme orthogonal et en déroulant les équivalences, on obtient l'équivalence suivante assez rapidement :
automorphisme orthogonal
A partir de là, j'ai envie de dire que la condition necéssaire et suffisante est que A soit orthogonal.
J'essaye donc de le démontrer par double implication. Un implication est immédiate grâce à l'équivalence précédente.
Cependant, je ne vois pas d'où partir et supposant que soit bien un automorphisme orthogonal.

Auriez-vous des pistes?

Merci d'avance,
Pixin
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[Seirios]

Bonsoir,

Juste une idée en passant : tu peux peut-être essayer de montrer que si pour toute matrice , alors nécessairement . Pour cela, il suffit sans doute de regarder ce qui se passe avec une matrice élémentaire (ie. avec un seul 1 et le reste en 0).

[invite6ab7b7b1]

Cela fonctionne à merveille, j'essayais bêtement d'appliquer le produit scalaire avec des matrices particulières, (In, A, les matrices élementaires...)
Merci beaucoup, et bon week-end !

Pixin