Probas appliquées à l'écologie - Somme de variables aléatoires

[FARfadet00]

Bonjour à tous,

1. l'énoncé
je cherche à redémontrer un résultat utile en écologie des populations microbiennes, mais je vous traduis le problème en terme d'urne et de tirage de boules afin d'avoir quelque chose de plus "classique" et de plus simple à appréhender de l'extérieur :

Soit une urne contenant N boules. Chaque boule est d'une seule couleur et il y a K couleurs différentes.
On note également :
le nombre de boules ayant la couleur
la variable aléatoire valant le nombre de couleurs différentes présentes dans un tirage de boules de l'urne. Les boules étant tirées simultanément.
Objectif : retrouver l'expression de la suite

2. Ce que j'ai fait
J'ai posé la famille de variables aléatoires , prenant pour valeur le nombre de boules de la couleur dans le tirage de boules.
On a :

d'où

Ensuite j'ai posé la famille de variables telle que pour un donné, la variable soit le résultat de l'expérience de Bernoulli suivante : succès si la couleur est présente, échec sinon. On a alors :


Pour tout dans et dans , on a alors :



3. Mes questions
Arrivée là, je coince un peu. Ce que je voudrais faire c'est déterminer la loi de X_n et en déduire son espérance. J'aimerais bien dire que X_n suit une loi binomiale mais le problème c'est qu'a priori les expériences de Bernoulli ne sont pas indépendantes ... Je n'ai pas trop essayé de démontrer l'indépendance parce qu'intuitivement je pense que ce n'est pas le cas.
Voilà, voilà, donc si un matheux de passage sur ce poste voyait comment me sortir de là, ce serait très gentil de sa part

Cordialement

PS: Ce n'est pas un exercice noté, j'essaie simplement de redémontrer un résultat parce que j'aime pas trop quand on nous sort des trucs de nulle part comme si c'était de la magie. Donc pas de stress ^^
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[Verdurin]

Bonjour,

il est facile de déterminer l'espérance des variables aléatoires :



Ensuite on peut utiliser le fait que l'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances.

On calcule ainsi sans avoir à déterminer la loi de , qui me semble assez compliquée et qui, a vu de nez, a peu à voir avec une loi binomiale.

[FARfadet00]

Bonjour,

Merci pour votre réponse, j'avais complètement oublié cette propriété de l'espérance, mes derniers cours de probas remontent un peu. Je retombe bien sur le résultat attendu.

Cela dit, par curiosité, je serais intéressée de savoir comment j'aurais pu procéder pour trouver la loi de Xn, juste pour avoir l'idée générale, pas le détails des calculs.

Encore merci

[Verdurin]

Je ne vois pas de moyen simple pour déterminer la loi de X_n.

Désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Ca doit être une loi compliquée. Il faut sommer certains termes de la loi hypergéométrique à K catégories, ça peut se faire numériquement mais sinon je ne vois pas non plus d'astuce.

[FARfadet00]

Très bien !
Merci pour vos réponses