Fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier
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Fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier



  1. #1
    stefjm

    Fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier


    ------

    Bonjour,
    En cherchant à faire l'inventaire des fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier, je n'en ai trouvé que deux.

    - La gaussienne
    - Le peigne de Dirac est la distribution de Dirac, dérivée de la distribution de Heaviside. T une constante réelle positive, t réel.

    Peut-on dire que ces fonctions (distribution) sont les vecteurs propres de la transformée de Fourier?

    Y en a-t-il d'autres?
    Comment les trouver?

    Cordialement.

    -----
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier

    Heu ...

    la définition de "vecteur propre" n'est pas f(x)=x.

    Cordialement.

    NB : Comme on ne sait pas sur quel espace tu te places, ta question est un peu floue.

  3. #3
    Tryss

    Re : Fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Heu ...

    la définition de "vecteur propre" n'est pas f(x)=x.

    Cordialement.

    NB : Comme on ne sait pas sur quel espace tu te places, ta question est un peu floue.
    Disons que ce sont des vecteurs propres (et pas les vecteurs propres) de l'opérateur transformé de Fourier (qui est linéaire).

    Vu qu'il parle de TF du peigne de Dirac, l'espace le plus naturel dans lequel considérer sa question est S', l'espace des distributions tempérées.

  4. #4
    stefjm

    Re : Fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier

    Bonjour,
    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Heu ...
    la définition de "vecteur propre" n'est pas f(x)=x.
    Oui, bien sûr : ,
    x vecteur propre et la valeur propre associée.
    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    NB : Comme on ne sait pas sur quel espace tu te places, ta question est un peu floue.
    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Disons que ce sont des vecteurs propres (et pas les vecteurs propres) de l'opérateur transformé de Fourier (qui est linéaire).
    Vu qu'il parle de TF du peigne de Dirac, l'espace le plus naturel dans lequel considérer sa question est S', l'espace des distributions tempérées.
    Merci pour le point d'entrée.
    Je vais étudier
    Distribution_tempérée
    où on retrouve le peigne de Dirac, comme distribution tempérée périodique et
    Transformation de Fourier pour les distributions tempérées en plein dans mes interrogations.

    En première lecture, je n'ai pas repéré d'autres vecteurs propres de l'opérateur transformée de Fourier.

    Peut-on en trouver un inventaire quelque part?

    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite02232301

    Re : Fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier

    Bonjour,
    Il y a bien plus de points fixes pour la transformée de Fourier que ca. Si on normalise la transformée de Fourier pour qu'elle agisse par isométrie sur L²(X) (pour X=R^n), alors la formule de Plancherel assure que T^4=1, et donc (f+T(f)+T^2(f)+T^3(f)) est un point fixe de la transformée de Fourier pour toute fonction f de L².
    PLus generalement, en utilisant le theoreme spectral (ou meme à la main!), on décompose L² en somme de 4 sous espaces propres donnés par l'adherence de sous espaces generés par les fonctions de Hermite.

  7. #6
    stefjm

    Re : Fonctions ou distributions invariantes par transformée de Fourier

    Merci.
    Je n'ai pas encore tout compris, mais grâce à ce que tu m'as dis, je vais pouvoir lire ceci :
    https://en.wikipedia.org/wiki/Hermit...rier_transform
    Cordialement
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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