Devellopement de Taylor avec reste intégral

[invite6ab7b7b1]

Bonjour,
je dois montrer ceci :
tel que et
avec
La forme demandée nous fait immédiatement penser à un développement en a à l'aide de la formule de Taylor Young.
Le second critère nous oblige en quelque sorte à passer par un développement avec reste intégral (phi étant infiniment dérivable, pas de soucis).
Je me retrouve donc à ce point là, en posant .
Je n'arrive pas à montrer que ce convient bien, ie vérifie l'inégalité.

Auriez-vous des pistes ?

Merci d'avance,
Pixin
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[inviteea028771]

Si tu calcules , tu trouves



Ainsi


Donc



Et il est clair qu'entre a et x,

Ainsi

[invite6ab7b7b1]

Merci beaucoup pour ces explications très claires, j'avais raté la majoration par le max, merci !

J'ai désormais un autre problème, pas besoin de faire la question en entier, juste de m'expliquer comment m'y prendre.

On considère
On veut montrer que on a . J'ai ici envie de "mettre" tout les termes contenant du x du même côté et de dériver pour obtenir une minoration très fine du terme en x, mais je ne sais pas dériver une fonction se trouvant dans une intégrale, sauriez-vous comment faire ? (je dois ensuite montrer que est solution d'une équa diff dans laquelle il faudra la dériver, j'aimerai donc savoir comment m'y prendre.

Merci d'avance,
Pixin

[invite6ab7b7b1]

Autant pour moi, j'ai réussi à trouver une façon de dériver grâce aux questions précedentes, mais y a t'il une méthode qui marche à tout les coups pour les fonctions de ce genre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Sous certaines hypothèses (voir les théorèmes de dérivations sous le signe somme), on a que