Fonctions...

[ilelogique]

Bonjour,
confirmez-vous et si oui comment prouvez-vous svp que :
Toute fonction continue, croissante et dont la dérivée est positive et croissante (dérivée seconde positive) tend vers +infini quand x tend vers + l'infini ?
merci,
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[gg0]

Bonjour.

Avec seulement "positive" et "croissante", les fonctions constantes sont des contre exemples. Donc il manque un ou des "strictement" quelque part.

Cordialement.

Rappel : 0 est positif; les fonctions constantes sont croissantes (et décroissantes).

[pm42]

Et si on met des strictement, le fait que la dérivée soit croissante fait que c'est une fonction convexe. Donc toujours au dessus de sa tangente.
Le fait que la dérivée soit strictement positive fait qu'on prend sa valeur en 1 point x0 et qu'on a pour x > x0, f(x) > f'(x0) x + f(x0).
Comme f'(x0) >0, la 2nde expression tend vers l'infini et donc f(x) tend vers l'infini.